Étape 1 — Initialisation : Vérifier que la propriété \(P(n_0)\) est vraie pour le rang de départ \(n_0\) (souvent \(n_0 = 0\) ou \(n_0 = 1\)). Calculer explicitement les deux membres.
Étape 2 — Hérédité : Supposer que \(P(n)\) est vraie pour un entier \(n \geq n_0\) quelconque (hypothèse de récurrence), puis démontrer que \(P(n+1)\) est vraie.
Étape 3 — Conclusion : Conclure : « Par le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\). »
Exemple détaillé — Montrer que pour tout \(n \geq 1\) : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
Initialisation (\(n=1\)) :
Membre gauche : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{1} k = 1\).
Membre droit : \(\dfrac{1 \times 2}{2} = 1\). ✓
Hérédité : Supposons que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\) pour un certain \(n \geq 1\).
Montrons que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\).
\[\sum_{k=1}^{n+1} k = \underbrace{\sum_{k=1}^{n} k}_{\text{hyp. réc.}} + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\!\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.\]
Conclusion : La propriété est vraie pour tout entier \(n \geq 1\). ✓
Méthode — Étudier la monotonie d'une suite
Méthode 1 (différence) : Calculer \(u_{n+1} - u_n\) et étudier son signe. Si \(u_{n+1}-u_n > 0\) pour tout \(n\), la suite est strictement croissante.
Méthode 2 (quotient, suite positive) : Si \(u_n > 0\), calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et comparer à 1. Si le quotient est \(> 1\), suite croissante.
Méthode 3 (fonction) : Si \(u_n = f(n)\), étudier la monotonie de \(f\) sur \([0;+\infty[\) via \(f'\).
Exemple détaillé — Monotonie de \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\)
Asymptote verticale : Si \(\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty\), la droite \(x=a\) est une AV. (Chercher les valeurs annulant le dénominateur.)
Asymptote horizontale : Si \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = L\), la droite \(y=L\) est une AH en \(\pm\infty\).
Asymptote oblique : Chercher \(a = \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\), puis \(b = \lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-ax)\). Si \(a\neq 0\) et \(b\) fini, \(y=ax+b\) est une AO.
Position : Étudier le signe de \(f(x)-(ax+b)\) pour préciser si la courbe est au-dessus ou en-dessous.
Exemple détaillé — Asymptotes de \(f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x - 1}\)
Méthode — Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Étape 1 : Vérifier que \(f\) est continue sur \([a,b]\).
Étape 2 : Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) (i.e., \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés si \(k=0\)).
Étape 3 : Conclure qu'il existe au moins un \(c \in ]a,b[\) tel que \(f(c)=k\). Si de plus \(f\) est strictement monotone, ce \(c\) est unique.
Exemple détaillé — Existence d'une racine de \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0,1]\)
Méthode — Trouver l'équation d'un plan passant par un point et perpendiculaire à une droite
Étape 1 : Identifier le vecteur directeur de la droite : il sera le vecteur normal \(\vec{n}(a,b,c)\) du plan.
Étape 2 : Écrire \(ax+by+cz+d=0\).
Étape 3 : Substituer les coordonnées du point donné pour calculer \(d\).
Exemple détaillé — Plan \(\mathcal{P}\) perpendiculaire à \(\vec{n}(2,-1,3)\) et passant par \(A(1,2,-1)\)
Équation : \(2x - y + 3z + d = 0\).
Substitution de \(A\) : \(2(1) - 2 + 3(-1) + d = 0 \Rightarrow 2-2-3+d=0 \Rightarrow d=3\).
Plan : \(\boxed{2x - y + 3z + 3 = 0}\).
Méthode — Calculer le projeté orthogonal d'un point sur un plan
Étape 1 : Écrire la droite \((\Delta)\) passant par \(M\) et perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\) : paramétrée par le vecteur normal \(\vec{n}(a,b,c)\). Point courant : \((x_M + at, y_M + bt, z_M + ct)\).
Étape 2 : Substituer dans l'équation du plan et résoudre en \(t\).
Étape 3 : Le projeté \(H\) a les coordonnées obtenues pour ce \(t\).
Exemple détaillé — Projeté de \(M(3,0,1)\) sur \(2x-y+3z+3=0\)
Méthode — Reconnaître et paramétrer une loi binomiale
Étape 1 : Vérifier les 4 conditions : expérience répétée \(n\) fois, essais identiques et indépendants, deux issues possibles (succès/échec), probabilité de succès \(p\) constante.
Étape 2 : Identifier \(n\) (nombre d'essais) et \(p\) (probabilité de succès).
Étape 1 : Pour \(X\sim\mathcal{B}(n,p)\), l'intervalle de fluctuation au seuil 95 % est approximativement \(\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) (valable si \(n\geq 25\), \(np\geq 5\), \(n(1-p)\geq 5\)).
Étape 2 : Calculer la fréquence observée \(f = k/n\).
Étape 3 : Si \(f\) est hors de l'intervalle, rejeter l'hypothèse \(p\) au seuil 5 %.
Étape 1 : Reconnaître la forme : \(u^n u'\) (primitiver en \(\frac{u^{n+1}}{n+1}\)), \(\frac{u'}{u}\) (primitiver en \(\ln|u|\)), \(u' e^u\) (primitiver en \(e^u\)).
Étape 2 : Vérifier par dérivation.
Étape 3 : Ajouter la constante \(C\) si on cherche la primitive générale, ou utiliser une condition initiale pour la déterminer.
Exemple détaillé — Primitive de \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\)
On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=x^2+1\) et \(u'=2x\).
Primitive : \(F(x) = \ln(x^2+1) + C\) (l'argument est toujours \(>0\) donc pas de valeur absolue).
Sur \([0;2\pi]\) (prendre \(k=0\)) : \(\boxed{x = \dfrac{\pi}{6}}\) et \(\boxed{x = \dfrac{5\pi}{6}}\).
Méthode — Dériver une fonction trigonométrique composée
Formules de base : \((\cos u)' = -u'\sin u\), \((\sin u)' = u'\cos u\), \((\tan u)' = \dfrac{u'}{\cos^2 u}\).
Étape 1 : Identifier la fonction externe et la fonction interne \(u\).
Étape 2 : Appliquer la règle de dérivation des fonctions composées.
Exemple détaillé — Dériver \(f(x) = \sin(3x^2+1)\)
\(u = 3x^2+1\), \(u' = 6x\). \(f(x) = \sin(u)\) donc \(f'(x) = u'\cos u = 6x\cos(3x^2+1)\).
Autre exemple : \(g(x) = \cos^3(x)\). On écrit \(g(x)=(u)^3\) avec \(u=\cos x\), \(u'=-\sin x\). \(g'(x) = 3u^2\cdot u' = 3\cos^2(x)\cdot(-\sin x) = -3\cos^2(x)\sin(x)\).
Étape 1 : Définir la suite \((u_n)\) et le seuil \(S\) à dépasser (ou rester en-dessous).
Étape 2 : Initialiser \(n=0\) et \(u=u_0\).
Étape 3 : Boucle while : tant que la condition n'est pas atteinte, incrémenter \(n\) et calculer \(u_{n+1}\).
Étape 4 : Renvoyer le rang \(n\) et la valeur \(u_n\).
Exemple détaillé — Premier rang \(n\) tel que \(u_n = 0{,}5^n 0{,}001\)
u = 1 # u_0 = 0.5^0 = 1
n = 0
while u >= 0.001:
n = n + 1
u = 0.5 * u # u_n = 0.5 * u_{n-1}
print(f"Premier rang : n = {n}, u_n = {u:.6f}")
# Résultat : n = 10, u_n = 0.000977
On peut vérifier : \(0{,}5^{10} = \dfrac{1}{1024} \approx 0{,}000977 0{,}001\) et \(0{,}5^9 = \dfrac{1}{512} \approx 0{,}00195 \geq 0{,}001\). ✓
Méthode — Simulation de probabilités par la méthode de Monte-Carlo
Étape 1 : Importer random.
Étape 2 : Répéter \(N\) fois (grand) : simuler l'expérience et compter les succès.
Étape 3 : Estimer la probabilité par \(\hat{p} = \text{nb\_succès}/N\).
Exemple détaillé — Estimer \(\pi\) par Monte-Carlo
import random
N = 100000
dans_cercle = 0
for _ in range(N):
x = random.uniform(-1, 1)
y = random.uniform(-1, 1)
if x**2 + y**2 = 1:
dans_cercle += 1
pi_estime = 4 * dans_cercle / N
print(f"Estimation de pi : {pi_estime:.4f}")
# Exemple de résultat : 3.1416
L'aire du disque unité est \(\pi\), celle du carré \([-1,1]^2\) est 4. La proportion de points dans le disque converge vers \(\pi/4\).
Piège à éviter
Ne pas confondre l'indentation en Python (tabulations ou espaces, mais pas les deux !). Une erreur d'indentation provoque un IndentationError.