Fonctions cosinus et sinus
Propriétés, dérivées, primitives, équations trigonométriques.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Connaître les valeurs exactes de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) pour \(\theta \in \{0,\,\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{3},\,\frac{\pi}{2},\,\pi\}\).
- Utiliser les propriétés de parité et de périodicité pour calculer \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
- Résoudre les équations \(\cos x = \cos\alpha\) et \(\sin x = \sin\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).
- Calculer la dérivée de \(\cos(u)\) et \(\sin(u)\) où \(u\) est une fonction dérivable.
- Déterminer des primitives de \(u'\cos(u)\) et \(u'\sin(u)\).
- Étudier les variations des fonctions cosinus et sinus sur un intervalle.
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Dérivée de \(\sin x\) : \((\sin x)' = \cos x\), à partir des formules d'addition.
- Dérivée de \(\cos x\) : \((\cos x)' = -\sin x\), à partir des formules d'addition.
Exemples d'algorithme — Programme officiel (BO)
- Résolution approchée d'une équation trigonométrique par balayage numérique.
- Tracé des courbes \(y = \cos x\) et \(y = \sin x\) avec Python.
1. Introduction
Les fonctions cosinus et sinus sont définies à partir du cercle trigonométrique. Elles modélisent tous les phénomènes périodiques : oscillations d'un pendule, ondes sonores, courant alternatif, marées…
En Terminale, on approfondit leur étude analytique : dérivées, primitives, résolution d'équations, et étude de variations. Ces outils sont indispensables pour l'analyse et le calcul intégral.
2. Cours
A — Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, orienté dans le sens direct. Pour tout réel \(\theta\), le point \(M\) associé est obtenu en parcourant un arc de longueur \(|\theta|\) depuis \(A(1\,;\,0)\) (sens direct si \(\theta > 0\)).
- \(\cos\theta\) est l'abscisse de \(M\)
- \(\sin\theta\) est l'ordonnée de \(M\)
| \(\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
B — Propriétés fondamentales
Pour tout réel \(\theta\) :
\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\]Conséquence : pour tout réel \(\theta\), \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\) et \(-1 \leq \sin\theta \leq 1\).
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\) :
\[\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta \qquad \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta\]On peut donc toujours ramener le calcul à un angle de \([0\,;\,2\pi[\) ou \([-\pi\,;\,\pi]\).
- cosinus est paire : \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)
- sinus est impaire : \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)
- Complémentarité : \(\cos\!\left(\pi - \theta\right) = -\cos\theta\) et \(\sin\!\left(\pi - \theta\right) = \sin\theta\)
- Translation de \(\frac{\pi}{2}\) : \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta\) et \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta\)
Sur le cercle trigonométrique, la symétrie par rapport à l'axe des abscisses donne \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) et \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\). La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées donne \(\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta\) et \(\sin(\pi-\theta) = \sin\theta\).
C — Équations trigonométriques
Pour tout réel \(\alpha\) :
\[\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\] \[\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]D — Dérivées
Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) :
\[(\cos x)' = -\sin x \qquad (\sin x)' = \cos x\]Si \(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) :
\[(\cos u)' = -u'\sin u \qquad (\sin u)' = u'\cos u\]- \(f(x) = \cos(3x)\) : \(u = 3x\), \(u' = 3\), donc \(f'(x) = -3\sin(3x)\).
- \(g(x) = \sin(x^2+1)\) : \(u = x^2+1\), \(u' = 2x\), donc \(g'(x) = 2x\cos(x^2+1)\).
- \(h(x) = \cos^2 x\) : \(u = \cos x\), \(u' = -\sin x\), donc \(h'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -\sin(2x)\).
E — Primitives
Plus généralement, si \(u\) est dérivable :
\[\int u'\cos(u) \, dx = \sin(u) + C \qquad \int u'\sin(u) \, dx = -\cos(u) + C\]Pour primitiver \(u'\sin(u)\), vérifier que le facteur devant \(\sin\) est bien la dérivée de l'argument. Si nécessaire, multiplier et diviser par la constante manquante.
Exemple : \(\displaystyle\int 3x\sin(x^2)\,dx\). On pose \(u = x^2\), \(u' = 2x\), donc \(3x = \frac{3}{2} \cdot 2x\). La primitive est \(-\dfrac{3}{2}\cos(x^2) + C\).
F — Variations de cosinus et sinus
Fonction cosinus :
- \((\cos x)' = -\sin x\) : négatif sur \(]0\,;\,\pi[\), positif sur \(]-\pi\,;\,0[\).
- Cosinus est décroissante sur \([0\,;\,\pi]\) et croissante sur \([-\pi\,;\,0]\).
- Maximum \(\cos(0) = 1\) ; minimum \(\cos(\pi) = -1\).
Fonction sinus :
- \((\sin x)' = \cos x\) : positif sur \(]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}[\), négatif sur \(]\frac{\pi}{2}\,;\,\pi[\) et sur \(]-\pi\,;\,-\frac{\pi}{2}[\).
- Sinus est croissante sur \([-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}]\) et décroissante sur \([\frac{\pi}{2}\,;\,\pi]\) et sur \([-\pi\,;\,-\frac{\pi}{2}]\).
- Maximum \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) ; minimum \(\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\).
3. Exemples guidés
On utilise la parité puis la périodicité :
\[\cos\!\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\!\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\!\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\]On reconnaît \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{5\pi}{6}\).
Les solutions sont :
\[x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]Dérivée : \(f'(x) = \cos x - \sin x\). \(f'(x) = 0 \iff \cos x = \sin x \iff \tan x = 1 \iff x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
Sur \([-\pi\,;\,\pi]\), les zéros sont \(x = \frac{\pi}{4}\) et \(x = -\frac{3\pi}{4}\).
- Sur \([-\frac{3\pi}{4}\,;\,\frac{\pi}{4}]\) : \(f'(x) \geq 0\), \(f\) est croissante.
- Sur \([\frac{\pi}{4}\,;\,\pi]\) et \([-\pi\,;\,-\frac{3\pi}{4}]\) : \(f'(x) \leq 0\), \(f\) est décroissante.
Maximum : \(f\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). On peut aussi écrire \(f(x) = \sqrt{2}\sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\).
On pose \(u = 2x\), \(u' = 2\). Une primitive de \(u'\sin(u) = 2\sin(2x)\) est \(-\cos(2x)\), donc une primitive de \(\sin(2x)\) est \(-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\).
\[\int_0^{\pi/4} \sin(2x)\,dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\pi/4} = -\frac{1}{2}\cos\!\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\cos 0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]4. Exercices progressifs
Sans calculatrice, calculer les valeurs exactes suivantes :
- \(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\)
- \(\sin\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
- \(\cos\!\left(\dfrac{11\pi}{4}\right)\)
- \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
- \(\cos\!\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\!\frac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(-\sin\!\frac{2\pi}{3} = -\sin\!\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\!\frac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos\!\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\!\frac{3\pi}{4} = -\cos\!\frac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
- \(\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(2\sin x + \sqrt{3} = 0\)
- \(\sin x = \sin\frac{\pi}{6}\) donc \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
- \(\cos x = \cos\frac{\pi}{4}\) donc \(x = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
- \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)\) donc \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- \(f(x) = \sin(5x - 2)\)
- \(g(x) = \cos(x^2)\)
- \(h(x) = \sin^3 x\)
- \(k(x) = x\cos x\)
- \(p(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) pour \(x \neq 0\)
- \(f'(x) = 5\cos(5x-2)\)
- \(g'(x) = -2x\sin(x^2)\)
- \(u = \sin x\), \(h(x) = u^3\), donc \(h'(x) = 3\sin^2 x \cdot \cos x\)
- Produit : \(k'(x) = \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x\sin x\)
- Quotient : \(p'(x) = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\), puis déterminer les solutions dans \([0\,;\,2\pi]\).
On pose \(X = 2x - \frac{\pi}{3}\). L'équation devient \(\cos X = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}\).
\[X = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad X = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}\]Premier cas : \(2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi\).
Second cas : \(2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = k\pi\).
Solutions dans \([0\,;\,2\pi]\) :
- Premier cas : \(x = \frac{\pi}{3}\) (k=0), \(x = \frac{4\pi}{3}\) (k=1).
- Second cas : \(x = 0\) (k=0), \(x = \pi\) (k=1), \(x = 2\pi\) (k=2).
Soit \(f(x) = 2\cos x - \sqrt{3}\sin x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe sur \([-\pi\,;\,\pi]\).
- Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-\pi\,;\,\pi]\).
- Montrer que \(f(x) = a\cos(x + \varphi)\) pour des constantes \(a\) et \(\varphi\) à déterminer.
1. \(f'(x) = -2\sin x - \sqrt{3}\cos x\). \(f'(x) = 0 \iff 2\sin x = -\sqrt{3}\cos x \iff \tan x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). On cherche les zéros sur \([-\pi\,;\,\pi]\) — ils sont en \(x_0 \approx -0{,}71\) et \(x_0 + \pi \approx 2{,}43\) (pas de valeur exacte simple).
3. On développe \(a\cos(x+\varphi) = a\cos x\cos\varphi - a\sin x\sin\varphi\). En identifiant :
\[a\cos\varphi = 2 \quad \text{et} \quad a\sin\varphi = \sqrt{3}\] \[a^2 = 4 + 3 = 7 \Rightarrow a = \sqrt{7}\] \[\tan\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi = \arctan\!\frac{\sqrt{3}}{2}\]Donc \(f(x) = \sqrt{7}\cos(x + \arctan\!\frac{\sqrt{3}}{2})\). Maximum de \(f\) : \(\sqrt{7}\).
Calculer les intégrales suivantes :
- \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx\)
- \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2 x\,dx\) (Indication : \(\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}\))
- \(\displaystyle\int_0^{1} x\cos(x^2)\,dx\)
- \(\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)
- \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \left[\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\sin\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}\)
- \(u = x^2\), \(u' = 2x\), donc \(x\cos(x^2) = \frac{1}{2} \cdot 2x\cos(x^2)\). Primitive : \(\frac{1}{2}\sin(x^2)\). Résultat : \(\left[\frac{1}{2}\sin(x^2)\right]_0^1 = \frac{\sin 1}{2} \approx 0{,}42\).
🔧 Fiches méthodes
Méthodes à maîtriser pour ce chapitre.
\(\sin x=1/2\). Solutions générales : \(x=\pi/6+2k\pi\) ou \(x=5\pi/6+2k\pi\).
Sur \([0;2\pi]\) : \(\boxed{x=\pi/6}\) et \(\boxed{x=5\pi/6}\).
\(u=3x^2+1\), \(u'=6x\). \(f'(x)=6x\cos(3x^2+1)\).
Autre exemple : \(g(x)=\cos^3(x)\), \(g'(x)=3\cos^2(x)\times(-\sin x)=-3\cos^2(x)\sin(x)\).
Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de la fonction interne \(u'\). Exemple : \((\sin(3x))'=3\cos(3x)\) et pas \(\cos(3x)\).
📌 Fiche de synthèse
Formules fondamentales
Relation fondamentale : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\).
Périodicité : période \(2\pi\) — \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\) et \(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\).
Parité : cosinus est paire (\(\cos(-\theta)=\cos\theta\)), sinus est impaire (\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)).
Dérivées et primitives — Résumé
| Fonction | Dérivée | Primitive |
|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\sin x + C\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos(u)\) | \(-u'\sin u\) | — |
| \(\sin(u)\) | \(u'\cos u\) | — |
| \(u'\cos(u)\) | — | \(\sin(u)+C\) |
| \(u'\sin(u)\) | — | \(-\cos(u)+C\) |
Équations — Mémo
- \(\cos x = \cos\alpha \iff x = \pm\alpha + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\) — deux familles symétriques
- \(\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi-\alpha+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\) — deux familles complémentaires
- Ne pas oublier les deux familles de solutions — en omettre une coûte des points !
- Toujours travailler en radians, pas en degrés.
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Dérivée de \(\sin x\)
La fonction \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\sin x)' = \cos x\).
On admet les limites fondamentales : \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1\) et \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0\).
On calcule le taux d'accroissement en \(x\) en utilisant la formule \(\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h\) :
\[\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \frac{\sin x\cos h + \cos x\sin h - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\]Quand \(h \to 0\) : premier terme \(\to \sin x \cdot 0 = 0\) et second terme \(\to \cos x \cdot 1 = \cos x\).
Donc \((\sin x)' = \cos x\). \(\square\)
Dérivée de \(\cos x\)
La fonction \(\cos\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((\cos x)' = -\sin x\).
En utilisant \(\cos(x+h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h\) :
\[\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h - \cos x}{h} = \cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h}\]Quand \(h \to 0\) : \(\cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x\).
Donc \((\cos x)' = -\sin x\). \(\square\)
💻 Exemples d'algorithme
Algorithmes au programme de ce chapitre, à implémenter en Python.
Tracé des courbes cosinus et sinus
Ce programme trace \(y = \cos x\) et \(y = \sin x\) sur \([-2\pi\,;\,2\pi]\) avec les axes et les valeurs remarquables.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 500)
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, np.cos(x), label='cos(x)', color='blue', linewidth=2)
plt.plot(x, np.sin(x), label='sin(x)', color='orange', linewidth=2)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend(fontsize=12)
plt.title('Fonctions cosinus et sinus', fontsize=14)
plt.xlabel('x (radians)')
plt.ylabel('y')
plt.xticks([-2*np.pi, -np.pi, -np.pi/2, 0, np.pi/2, np.pi, 2*np.pi],
['-2π', '-π', '-π/2', '0', 'π/2', 'π', '2π'])
plt.ylim(-1.5, 1.5)
plt.show()Résolution approchée d'une équation trigonométrique
Trouver toutes les solutions de \(\cos x = k\) dans \([0\,;\,2\pi]\) par balayage.
import numpy as np
def solutions_cos(k, precision=1e-4):
"""
Cherche toutes les solutions de cos(x) = k dans [0 ; 2*pi]
par balayage avec un pas égal à la précision souhaitée.
"""
if abs(k) > 1:
print("Pas de solution : |k| > 1")
return []
solutions = []
x = 0.0
while x <= 2 * np.pi:
if abs(np.cos(x) - k) < precision:
# Éviter les doublons proches
if not solutions or abs(x - solutions[-1]) > 10 * precision:
solutions.append(round(x, 4))
x += precision
return solutions
# Exemple : résoudre cos(x) = 0.5 dans [0 ; 2*pi]
sols = solutions_cos(0.5)
print(f"Solutions de cos(x) = 0.5 : {sols}")
# → [1.0472, 5.236] soit environ π/3 et 5π/3