Limites de suite
Convergence, divergence, opérations sur les limites.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Établir la convergence d'une suite, ou sa divergence vers \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
- Limite de \((q^n)\), après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli.
- Divergence vers \(+\infty\) d'une suite minorée par une suite divergeant vers \(+\infty\).
Exemples d'algorithme — Programme officiel (BO)
- Recherche de valeurs approchées de \(\pi\), \(e\), \(\sqrt{2}\), \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), \(\ln 2\), etc.
1. Introduction
Lorsqu'une suite \((u_n)\) évolue à mesure que \(n\) grandit, une question naturelle se pose : vers quoi tend-elle ? La notion de limite formalise cette idée intuitive. On distingue les suites qui convergent vers un réel fini (suites convergentes) et celles qui divergent, soit vers l'infini, soit sans limite.
Ce chapitre présente les définitions rigoureuses, les règles de calcul (opérations sur les limites), les théorèmes de comparaison, et les outils pratiques comme l'algorithme de seuil.
2. Cours
A — Limite finie et limite infinie
Définition — Limite finie (convergence)
Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang. On écrit :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \]
De manière équivalente : pour tout \(\varepsilon > 0\), l'intervalle \(]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon[\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang.
Définition — Suite divergente
Une suite qui ne converge vers aucun réel est dite divergente.
Exemple : La suite \(u_n = (-1)^n\) est divergente : elle vaut alternativement \(1\) et \(-1\), sans jamais se stabiliser autour d'une valeur.
Propriété — Unicité de la limite
Si une suite \((u_n)\) admet une limite réelle \(\ell\), cette limite est unique.
Propriété — Limites finies classiques
Pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\) :
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \qquad \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \text{ si } -1 < q < 1 \]
Théorème — Convergence des suites monotones bornées
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Ce théorème est fondamental : il garantit l'existence d'une limite sans la calculer explicitement.
Définition — Limite infinie
\((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si pour tout réel \(A > 0\), l'intervalle \([A\,;+\infty[\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang. On écrit \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\).
\((u_n)\) tend vers \(-\infty\) si pour tout réel \(B < 0\), l'intervalle \(]-\infty\,;B]\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang.
B — Opérations sur les limites
Définition — Forme indéterminée (F.I.)
Une forme indéterminée est une situation dans laquelle les règles de calcul des limites ne permettent pas de conclure. Les quatre F.I. pour les suites sont : \[ +\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0} \]
Tableau — Limite d'une somme \(u_n + v_n\)
| \(\lim u_n\) | \(\lim v_n\) | \(\lim (u_n + v_n)\) |
|---|---|---|
| \(\ell_1\) | \(\ell_2\) | \(\ell_1 + \ell_2\) |
| \(\ell_1\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(\ell_1\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | F.I. |
Tableau — Limite d'un produit \(u_n \times v_n\)
| \(\lim u_n\) | \(\lim v_n\) | \(\lim (u_n \times v_n)\) |
|---|---|---|
| \(\ell_1\) | \(\ell_2\) | \(\ell_1 \times \ell_2\) |
| \(\ell_1 \neq 0\) | \(+\infty\) | \(\pm\infty\) (signe de \(\ell_1\)) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | F.I. |
Tableau — Limite d'un quotient \(u_n / v_n\)
| \(\lim u_n\) | \(\lim v_n\) | \(\lim (u_n / v_n)\) |
|---|---|---|
| \(\ell_1\) | \(\ell_2 \neq 0\) | \(\ell_1 / \ell_2\) |
| \(\ell_1\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\ell_2 \neq 0\) | \(\pm\infty\) |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | F.I. |
| \(\ell_1\) | \(0^+\) | \(\pm\infty\) |
| \(0\) | \(0\) | F.I. |
Méthode — Lever une forme indéterminée \(\infty - \infty\) ou \(\infty/\infty\)
La technique principale est la factorisation par le terme dominant.
Exemple : Pour \(\lim(n^3 - 2n^2 + 5)\), on factorise par \(n^3\) : \[ n^3 - 2n^2 + 5 = n^3\!\left(1 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^3}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty \]
📈 Atelier guidé — Limites de suite pas à pas
Calculez des limites étape par étape : limites de référence, opérations, formes indéterminées, suites géométriques, comparaison et gendarmes, quantité conjuguée. Chaque exercice se termine par une rédaction à compléter, avec des exercices aléatoires illimités.
C — Limites et comparaison
Propriété — Passage à la limite par comparaison
Si à partir d'un certain rang \(v_n \leq u_n\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\).
Théorème des gendarmes
Si à partir d'un certain rang \(u_n \leq v_n \leq w_n\) et si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty} w_n = \ell\), alors :
\[ \lim_{n\to+\infty} v_n = \ell \]
⚖️ Atelier guidé — Comparaison et gendarmes pas à pas
Entraînez-vous étape par étape : minorer pour obtenir +∞, majorer pour obtenir −∞, encadrer avec le théorème des gendarmes, puis un défi avec des quotients. Chaque exercice se termine par une rédaction à compléter, avec des exercices aléatoires illimités.
D — Suites de référence
Propriété — Suites arithmétiques
- Si la raison \(r > 0\) : la suite diverge vers \(+\infty\).
- Si la raison \(r < 0\) : la suite diverge vers \(-\infty\).
- Si la raison \(r = 0\) : la suite est constante, elle converge.
Propriété — Suites géométriques de raison \(q\) et premier terme \(u_0 > 0\)
- \(q > 1\) : \(\displaystyle\lim q^n = +\infty\) — diverge.
- \(q = 1\) : suite constante, converge vers \(u_0\).
- \(-1 < q < 1\) : \(\displaystyle\lim q^n = 0\) — converge vers \(0\).
- \(q \leq -1\) : diverge sans admettre de limite.
E — Utilisation de la calculatrice
Conjecture à la calculatrice
On peut utiliser la calculatrice (mode suite ou tableau de valeurs) pour conjecturer la valeur d'une limite en observant le comportement de \(u_n\) pour de grandes valeurs de \(n\).
Attention : La calculatrice ne constitue en aucun cas une preuve mathématique. Elle aide à formuler une conjecture, mais une démonstration rigoureuse est toujours indispensable.
F — Algorithme de seuil
Méthode — Algorithme de seuil
On appelle seuil le plus petit entier \(n\) à partir duquel une inégalité est satisfaite. Par exemple : trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n > A\) (si la suite tend vers \(+\infty\)) ou tel que \(u_n < \varepsilon\) (si la suite tend vers \(0\)).
🎯 Atelier guidé — Algorithme de seuil pas à pas
Entraîne-toi étape par étape : lire le seuil sur des valeurs, compléter la boucle while en Python, résoudre l'inéquation par le calcul, et un défi avec le logarithme. Chaque exercice se termine par une rédaction ou un programme à compléter, avec des exercices aléatoires illimités.
3. Exemples guidés
Exemple 1 — Somme de limites
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n^2 + 3n - 5)\).
Solution :
\[ \lim_{n\to+\infty} n^2 = +\infty \qquad \lim_{n\to+\infty} 3n = +\infty \qquad \lim_{n\to+\infty} (-5) = -5 \]
Par somme : \(\lim(n^2 + 3n - 5) = +\infty\). (pas de F.I. car \(+\infty + \infty + (-5) = +\infty\))
Exemple 2 — Produit de limites
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(3 + \frac{2}{n^3}\right)\!\left(\frac{1}{n} + 5\right)\).
Solution :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(3+\frac{2}{n^3}\right) = 3+0 = 3 \qquad \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+5\right) = 0+5 = 5 \]
Par produit : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(3+\frac{2}{n^3}\right)\!\left(\frac{1}{n}+5\right) = 3 \times 5 = \mathbf{15}\).
Exemple 3 — Lever la F.I. \(+\infty - \infty\)
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n^3 - 2n^2 + 5)\).
Solution : Forme indéterminée \(+\infty - \infty\). On factorise par \(n^3\) :
\[ n^3 - 2n^2 + 5 = n^3\!\left(1 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^3}\right) \]
Or \(\lim n^3 = +\infty\) et \(\lim\!\left(1 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^3}\right) = 1 > 0\).
Donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n^3-2n^2+5) = \mathbf{+\infty}\).
Exemple 4 — Forme \(\infty/\infty\) : diviser par le terme dominant
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+1}{n^2-2}\).
Solution : Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On divise numérateur et dénominateur par \(n^2\) :
\[ \frac{3n^2+1}{n^2-2} = \frac{3 + \dfrac{1}{n^2}}{1 - \dfrac{2}{n^2}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3+0}{1-0} = \mathbf{3} \]
Exemple 5 — Théorème des gendarmes
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\).
Solution : Pour tout \(n \geq 1\), \(-1 \leq (-1)^n \leq 1\). En divisant par \(n > 0\) :
\[ -\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n} \]
Or \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\!\left(-\frac{1}{n}\right) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n} = 0\).
Par le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n} = \mathbf{0}\).
4. Exercices progressifs
⭐ Facile Exercice 1 — Limite d'un quotient
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{5n+3}{2n-1}\).
Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On divise numérateur et dénominateur par \(n\) :
\[ \frac{5n+3}{2n-1} = \frac{5 + \dfrac{3}{n}}{2 - \dfrac{1}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{5+0}{2-0} = \frac{5}{2} \]
Donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{5n+3}{2n-1} = \dfrac{5}{2}\).
⭐ Facile Exercice 2 — Limite d'un polynôme
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(2n^2 - n + 3)\).
On factorise par le terme dominant \(n^2\) :
\[ 2n^2 - n + 3 = n^2\!\left(2 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}\right) \]
Or \(\lim n^2 = +\infty\) et \(\lim\!\left(2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{3}{n^2}\right) = 2 > 0\).
Donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(2n^2-n+3) = +\infty\).
⭐⭐ Moyen Exercice 3 — Quotient de deux polynômes de même degré
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3-2n+1}{3n^3+n-5}\).
Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On divise numérateur et dénominateur par \(n^3\) :
\[ \frac{n^3-2n+1}{3n^3+n-5} = \frac{1 - \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{1}{n^3}}{3 + \dfrac{1}{n^2} - \dfrac{5}{n^3}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{1-0+0}{3+0-0} = \frac{1}{3} \]
Donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3-2n+1}{3n^3+n-5} = \dfrac{1}{3}\).
⭐⭐ Moyen Exercice 4 — Suite croissante et majorée
Soit \(u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante.
- Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(1\).
- Conclure sur l'existence de la limite, puis calculer cette limite.
1. Croissance :
\[ u_{n+1} - u_n = \left(1-\frac{1}{n+2}\right) - \left(1-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 \]
Donc \((u_n)\) est strictement croissante.
2. Majoration : Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\dfrac{1}{n+1} > 0\), donc \(u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1} < 1\). La suite est bien majorée par \(1\).
3. Conclusion : La suite \((u_n)\) est croissante et majorée. Par le théorème de convergence des suites monotones bornées, elle converge.
Sa limite est : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - 0 = \mathbf{1}\).
⭐⭐⭐ Difficile Exercice 5 — Gendarmes avec sinus
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin(n)}{n}\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a \(-1 \leq \sin(n) \leq 1\). Comme \(n > 0\), on peut diviser par \(n\) sans changer le sens des inégalités :
\[ -\frac{1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n} \]
Or \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\!\left(-\frac{1}{n}\right) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n} = 0\).
Par le théorème des gendarmes :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin(n)}{n} = \mathbf{0} \]
⭐⭐⭐ Difficile Exercice 6 — Algorithme de seuil
Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(\dfrac{1}{n^2} < 0{,}001\).
Méthode algébrique :
On résout \(\dfrac{1}{n^2} < 0{,}001 = \dfrac{1}{1000}\).
\[ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1000} \iff n^2 > 1000 \iff n > \sqrt{1000} \approx 31{,}62 \]
Le plus petit entier vérifiant \(n > 31{,}62\) est \(n = 32\).
Vérification :
- \(n = 31\) : \(\dfrac{1}{31^2} = \dfrac{1}{961} \approx 0{,}00104 > 0{,}001\). ✗
- \(n = 32\) : \(\dfrac{1}{32^2} = \dfrac{1}{1024} \approx 0{,}000977 < 0{,}001\). ✓
Le seuil est \(\mathbf{n = 32}\).
🔧 Fiches méthodes
Méthodes à maîtriser pour ce chapitre.
Méthode — Calculer la limite d'une suite
Exemple détaillé — \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2-5n+1}{2n^2+7}\)
Forme \(\infty/\infty\). Factoriser par \(n^2\) :
\[\frac{3n^2-5n+1}{2n^2+7} = \frac{3-5/n+1/n^2}{2+7/n^2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.\]
Méthode — Lever une forme indéterminée \(+\infty-\infty\)
Exemple détaillé — \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})\)
\[\sqrt{n+3}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}} \to 0.\]
Piège à éviter
Ne jamais « simplifier » \(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\) en \(\sqrt{3}\). La racine carrée ne distribue pas sur la soustraction.
📌 Fiche de synthèse
Les deux types de limites
| Type | Notation | Conséquence |
|---|---|---|
| Limite finie \(\ell\) | \(\lim u_n = \ell\) | Suite convergente |
| Limite \(+\infty\) ou \(-\infty\) | \(\lim u_n = \pm\infty\) | Suite divergente |
| Pas de limite | — | Suite divergente (ex : \((-1)^n\)) |
Les 4 formes indéterminées et comment les lever
| F.I. | Technique |
|---|---|
| \(+\infty - \infty\) | Factoriser par le terme dominant |
| \(\dfrac{\infty}{\infty}\) | Diviser par le terme dominant |
| \(0 \times \infty\) | Réécrire comme quotient |
| \(\dfrac{0}{0}\) | Factoriser pour simplifier |
Théorèmes clés
- Théorème des gendarmes : \(u_n \leq v_n \leq w_n\) et \(\lim u_n = \lim w_n = \ell \Rightarrow \lim v_n = \ell\).
- Suite croissante et majorée : elle converge.
- Suite décroissante et minorée : elle converge.
Limites classiques à connaître
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k \geq 1) \qquad \lim_{n\to+\infty} q^n = 0 \quad (-1 < q < 1) \qquad \lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty \quad (q > 1) \]
⚠️ Erreurs fréquentes :
- Appliquer les règles opératoires sans vérifier l'absence de F.I.
- Conclure sur la limite à partir d'un calcul numérique seul (calculatrice).
- Oublier de vérifier les hypothèses du théorème des gendarmes (double encadrement).
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Suite croissante non majorée
Théorème / Énoncé
Toute suite croissante et non majorée tend vers \(+\infty\).
Démonstration
Soit \((u_n)\) une suite croissante et non majorée. Soit \(M \in \mathbb{R}\) quelconque.
Comme \((u_n)\) est non majorée, \(M\) n'est pas un majorant de la suite : il existe un rang \(N\) tel que \(u_N > M\).
Comme \((u_n)\) est croissante, pour tout \(n \geq N\) : \(u_n \geq u_N > M\).
Ainsi, pour tout réel \(M\), il existe \(N\) tel que \(n \geq N \Rightarrow u_n > M\), ce qui signifie \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\). \(\square\)
Limite de \((q^n)\) pour \(q > 1\)
Théorème / Énoncé
Pour tout \(q > 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty\).
Démonstration
Posons \(a = q - 1 > 0\). D'après l'inégalité de Bernoulli :
\[q^n = (1+a)^n \geq 1 + na\]
Or \(1 + na \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty\), donc par comparaison \(q^n \to +\infty\). \(\square\)
Divergence vers \(+\infty\) par minoration
Théorème / Énoncé
Si \((u_n) \to +\infty\) et si \(v_n \geq u_n\) à partir d'un certain rang, alors \((v_n) \to +\infty\).
Démonstration
Soit \(M \in \mathbb{R}\).
Puisque \(u_n \to +\infty\), il existe \(N_1 \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geq N_1 \Rightarrow u_n > M\).
Par hypothèse, il existe \(N_2\) tel que \(n \geq N_2 \Rightarrow v_n \geq u_n\).
Pour \(n \geq N = \max(N_1, N_2)\) : \(v_n \geq u_n > M\). Donc \(v_n \to +\infty\). \(\square\)
💻 Exemples d'algorithme
Algorithmes au programme de ce chapitre, à implémenter en Python.
Valeurs approchées de \(\sqrt{2}\), \(e\), \(\ln 2\), \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Calcul de constantes remarquables à partir de suites convergentes.
# ── Racine de 2 par la suite de Héron ──────────────────────
def approx_sqrt2(precision=1e-10):
"""u_{n+1} = (u_n + 2/u_n) / 2 → sqrt(2)"""
u, n = 1.0, 0
while True:
v = (u + 2 / u) / 2
n += 1
if abs(v - u) < precision:
return v, n
u = v
val, it = approx_sqrt2()
print(f"sqrt(2) ≈ {val:.12f} ({it} itérations)")
# ── Nombre e par somme 1/k! ─────────────────────────────────
def approx_e(precision=1e-12):
terme, somme, k = 1.0, 1.0, 1
while terme > precision:
terme /= k
somme += terme
k += 1
return somme, k
val, n = approx_e()
print(f"e ≈ {val:.12f} ({n} termes)")
# ── Nombre d'or : u_{n+1} = 1 + 1/u_n ─────────────────────
def approx_phi(nb_iter=40):
"""Converge vers (1+sqrt(5))/2"""
u = 1.0
for _ in range(nb_iter):
u = 1 + 1 / u
return u
import math
print(f"φ ≈ {approx_phi():.12f} (exact : {(1+math.sqrt(5))/2:.12f})")
# ── ln(2) par la série alternée ─────────────────────────────
def approx_ln2(N=100000):
"""ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ..."""
return sum((-1)**(k+1) / k for k in range(1, N+1))
print(f"ln(2) ≈ {approx_ln2():.8f} (exact : {math.log(2):.8f})")🎬 Animation interactive