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Seconde — MathématiquesChapitre 1Préparer l'évaluation

Préparer l'évaluation — Fractions, racines carrées, calcul littéral

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Rappels de cours

Fractions

• \(\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{d}\) (même dénominateur)

• \(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}\)

• \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\)

• « \(\dfrac{2}{5}\) de » \(=\dfrac{2}{5}\times\)

Racines carrées (\(a\geqslant0\), \(b\geqslant0\))

• \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\)

• \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\)

• \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) \((b\neq0)\)

Mais \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Calcul littéral

• \(k(a+b)=ka+kb\)

• \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)

• \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

• \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

• \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Fais chaque exercice au brouillon en rédigeant toutes les étapes.
Ensuite, scanne le QR code (ou clique dessus) pour voir la correction détaillée et compare.

Partie A — Fractions

Exercice 1▷ Calculer avec des fractions

Correction

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

  1. \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}\)
  2. \(\dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{6}\)
  3. \(3-\dfrac{4}{5}\)
  4. \(\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{10}\)
  5. \(\dfrac{4}{9}\div\dfrac{8}{15}\)
  6. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}\)

Exercice 2▷ Enchaîner les opérations

Correction

Calculer en détaillant les étapes ; donner le résultat sous forme irréductible.

  1. \(A=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}}\)
  2. \(B=\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\times\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}\right)\)
  3. \(C=\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{9}\)

Exercice 3▷ Problème avec des fractions

Correction

Léa dépense \(\dfrac{1}{3}\) de son argent de poche pour un livre, puis \(\dfrac{2}{5}\) du reste pour une place de cinéma.

  1. Quelle fraction de son argent de poche lui reste-t-il après l'achat du livre ?
  2. Quelle fraction de son argent de poche a coûté la place de cinéma ?
  3. Quelle fraction de son argent de poche lui reste-t-il à la fin ?
  4. Son argent de poche est de \(45\) €. Combien lui reste-t-il ?
Partie B — Racines carrées

Exercice 4▷ Écrire sous la forme a√b

Correction

Écrire chaque nombre sous la forme \(a\sqrt{b}\), avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b\) le plus petit possible.

  1. \(\sqrt{50}\)
  2. \(\sqrt{27}\)
  3. \(\sqrt{180}\)
  4. \(\sqrt{128}\)

Exercice 5▷ Réduire et calculer avec des racines

Correction

Écrire le plus simplement possible.

  1. \(A=3\sqrt{12}-\sqrt{75}+2\sqrt{3}\)
  2. \(B=\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{80}\)
  3. \(C=\sqrt{3}\times\sqrt{12}\)
  4. \(D=\left(3\sqrt{2}\right)^2\)
  5. \(E=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\)

Exercice 6▷ Développer avec des racines

Correction

Développer et réduire.

  1. \(F=\left(2+\sqrt{5}\right)^2\)
  2. \(G=\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\)
  3. \(H=\left(1+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)\)
  4. Écrire \(I=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\) sans racine au dénominateur.
Partie C — Développer et factoriser

Exercice 7▷ Développer et réduire

Correction

Développer et réduire.

  1. \(A=3(2x-5)-2(x-4)\)
  2. \(B=(2x+3)(x-4)\)
  3. \(C=(x+5)^2\)
  4. \(D=(3x-2)^2\)
  5. \(E=(2x+7)(2x-7)\)

Exercice 8▷ Factoriser

Correction

Factoriser.

  1. \(6x^2-9x\)
  2. \(x^2-25\)
  3. \(x^2+6x+9\)
  4. \(4x^2-12x+9\)
  5. \((x+2)(3x-1)+(x+2)(x+4)\)
  6. \(9x^2-(x+1)^2\)
Partie D — Bilan

Exercice 9▷ Choisir la bonne forme

Correction

On considère l'expression \(E=(2x-1)^2-(x+3)(2x-1)\).

  1. Développer et réduire \(E\).
  2. Factoriser \(E\).
  3. En choisissant la forme la mieux adaptée, calculer \(E\) pour \(x=0\), pour \(x=\dfrac{1}{2}\), puis pour \(x=\sqrt{2}\).

Exercice 10▷ Le nombre d'or

Correction

On pose \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) (le « nombre d'or »).

  1. Calculer \(\varphi^2\) et l'écrire sous la forme \(\dfrac{a+b\sqrt5}{2}\).
  2. Calculer \(\varphi+1\), puis démontrer que \(\varphi^2=\varphi+1\).