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Seconde · Chapitre 1 · Préparer l'évaluation

Fractions, racines carrées, calcul littéral — corrigés détaillés

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Partie A — Fractions

1Calculer avec des fractionsFractions
Méthodes :
  • Addition / soustraction : on met les fractions au même dénominateur, puis on ajoute (ou on soustrait) les numérateurs : \(\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{d}\).
  • Multiplication : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}\). On simplifie avant de calculer les produits.
  • Division : diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : \(\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\).
  • Irréductible : on divise le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus.

a) \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}\)

  1. Je cherche un dénominateur commun. \(6=3\times2\) : \(6\) est un multiple de \(3\), donc on prend \(6\).
  2. Je transforme la première fraction. \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times2}{3\times2}=\dfrac{4}{6}\). On multiplie le numérateur ET le dénominateur par le même nombre : la fraction ne change pas.
  3. J'additionne les numérateurs. \(\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}\). Le dénominateur reste 6 : on n'additionne jamais les dénominateurs.
  4. Je simplifie. \(9=3\times3\) et \(6=3\times2\), donc \(\dfrac{9}{6}=\dfrac{3\times3}{3\times2}=\) \(\dfrac{3}{2}\).
Vérification : \(2\div3+5\div6\approx1{,}5\) et \(3\div2=1{,}5\).

b) \(\dfrac{7}{4}-\dfrac{5}{6}\)

  1. Je cherche un dénominateur commun. Multiples de \(4\) : \(4, 8, \mathbf{12}, 16\dots\) ; multiples de \(6\) : \(6, \mathbf{12}, 18\dots\) Le plus petit multiple commun est \(12\).
  2. Je transforme les deux fractions. \(\dfrac{7}{4}=\dfrac{7\times3}{4\times3}=\dfrac{21}{12}\) et \(\dfrac{5}{6}=\dfrac{5\times2}{6\times2}=\dfrac{10}{12}\).
  3. Je soustrais les numérateurs. \(\dfrac{21}{12}-\dfrac{10}{12}=\) \(\dfrac{11}{12}\). 11 est premier et ne divise pas 12 : la fraction est irréductible.
Vérification : \(7\div4-5\div6\approx0{,}9167\) et \(11\div12\approx0{,}9167\).

c) \(3-\dfrac{4}{5}\)

  1. J'écris 3 sous forme de fraction de dénominateur 5. \(3=\dfrac{3}{1}=\dfrac{3\times5}{1\times5}=\dfrac{15}{5}\).
  2. Je soustrais. \(\dfrac{15}{5}-\dfrac{4}{5}=\) \(\dfrac{11}{5}\).
Vérification : \(3-0{,}8=2{,}2\) et \(11\div5=2{,}2\).

d) \(\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{10}\)

  1. J'écris le produit sur une seule fraction, sans calculer. \(\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{5\times9}{6\times10}\).
  2. Je décompose pour voir les facteurs communs. \(\dfrac{5\times3\times3}{2\times3\times2\times5}\). Simplifier avant de multiplier évite les grands nombres.
  3. Je simplifie par 5 et par 3. Il reste \(\dfrac{3}{2\times2}=\) \(\dfrac{3}{4}\).
Vérification : \(5\div6\times9\div10=0{,}75\) et \(3\div4=0{,}75\).

e) \(\dfrac{4}{9}\div\dfrac{8}{15}\)

  1. Je remplace la division par la multiplication par l'inverse. L'inverse de \(\dfrac{8}{15}\) est \(\dfrac{15}{8}\), donc \(\dfrac{4}{9}\div\dfrac{8}{15}=\dfrac{4}{9}\times\dfrac{15}{8}\).
  2. J'écris sur une seule fraction et je décompose. \(\dfrac{4\times15}{9\times8}=\dfrac{4\times3\times5}{3\times3\times4\times2}\).
  3. Je simplifie par 4 et par 3. Il reste \(\dfrac{5}{3\times2}=\) \(\dfrac{5}{6}\).
Vérification : \((4\div9)\div(8\div15)\approx0{,}8333\) et \(5\div6\approx0{,}8333\).

f) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}\)

  1. Je respecte les priorités : la multiplication d'abord. \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\times3}{3\times4}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\).
  2. Je fais ensuite l'addition, au même dénominateur 4. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\) \(\dfrac{3}{4}\).
Vérification : \(1\div2+1\div3\times3\div4=0{,}75\).
Erreur fréquente : \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}\neq\dfrac{7}{9}\) ! On n'additionne jamais les dénominateurs. Et en f), calculer d'abord \(\dfrac12+\dfrac13\) est faux : la multiplication est prioritaire.
À retenir :
  • \(+\) et \(-\) : même dénominateur obligatoire.
  • \(\times\) : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux (pas besoin de même dénominateur).
  • \(\div\) : on multiplie par l'inverse.
2Enchaîner les opérationsFractions
Méthode : on calcule séparément chaque « morceau » (le numérateur, le dénominateur, chaque parenthèse), en respectant les priorités : parenthèses, puis \(\times\) et \(\div\), puis \(+\) et \(-\). Une grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses : \(\dfrac{X}{Y}=X\div Y\).

\(A=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}}\)

  1. Je calcule le numérateur. Dénominateur commun \(12\) : \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{5}{12}\).
  2. Je calcule le dénominateur. Dénominateur commun \(6\) : \(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\).
  3. Je divise : je multiplie par l'inverse. \(A=\dfrac{5}{12}\div\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{12}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{5\times3}{3\times4\times4}=\) \(\dfrac{5}{16}\). 12 = 3 × 4 : on simplifie par 3.
Vérification : \(A=0{,}3125\) et \(5\div16=0{,}3125\).

\(B=\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\times\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}\right)\)

  1. Je calcule la première parenthèse. \(1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\).
  2. Je calcule la deuxième parenthèse. Dénominateur commun \(12\) : \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{11}{12}\).
  3. Je multiplie et je simplifie. \(B=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{11}{12}=\dfrac{3\times11}{5\times3\times4}=\) \(\dfrac{11}{20}\).
Vérification : \(B=0{,}55\) et \(11\div20=0{,}55\).

\(C=\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{9}\)

  1. La division est prioritaire sur la soustraction. \(\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{2\times3\times3}{3\times2\times2}=\dfrac{3}{2}\).
  2. Je soustrais, au dénominateur commun 6. \(C=\dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{14}{6}-\dfrac{9}{6}=\) \(\dfrac{5}{6}\).
Vérification : \(C\approx0{,}8333\) et \(5\div6\approx0{,}8333\).
Piège : dans \(C\), calculer d'abord \(\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{3}\) donne un résultat faux (\(\dfrac{5}{3}\div\dfrac{4}{9}=\dfrac{15}{4}\)). On respecte les priorités !
À retenir : Dans un calcul « en étages », on calcule chaque étage séparément, puis on divise : \(\dfrac{X}{Y}=X\times\dfrac{1}{Y}\).
3Problème avec des fractionsFractions
Méthode : prendre « une fraction d'une quantité », c'est multiplier : \(\dfrac{2}{5}\) du reste \(=\dfrac{2}{5}\times\text{reste}\). On représente l'argent de poche total par \(1\) (le tout).

1) Après le livre

  1. Le tout vaut 1 ; j'enlève la part du livre. \(1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=\) \(\dfrac{2}{3}\) de l'argent de poche.

2) La place de cinéma

  1. Elle coûte 2/5 du reste, c'est-à-dire 2/5 de 2/3. \(\dfrac{2}{5}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{15}\). « de » se traduit par une multiplication.
  2. Conclusion. La place représente \(\dfrac{4}{15}\) de l'argent de poche (et non \(\dfrac{2}{5}\) !).

3) Ce qui reste à la fin

  1. J'enlève la place au reste. \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{15}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{4}{15}=\dfrac{6}{15}\).
  2. Je simplifie par 3. \(\dfrac{6}{15}=\dfrac{3\times2}{3\times5}=\) \(\dfrac{2}{5}\).
Vérification : \(\dfrac13+\dfrac4{15}+\dfrac25=\dfrac{5}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{6}{15}=1\) : on retrouve bien le tout.

4) En euros

  1. Je calcule 2/5 de 45 €. \(\dfrac{2}{5}\times45=\dfrac{2\times45}{5}=\dfrac{90}{5}=18\). Il lui reste 18 €.
Vérification : Livre : 15 € ; reste 30 € ; cinéma : 2/5 de 30 = 12 € ; 30 − 12 = 18 €.
Erreur fréquente : faire \(1-\dfrac13-\dfrac25\). Les \(\dfrac25\) portent sur le reste, pas sur le tout.
À retenir : « Fraction de » \(\Rightarrow\) multiplication. Bien repérer sur quoi porte la fraction (le tout ou le reste).

Partie B — Racines carrées

4Écrire sous la forme a√bRacines carrées
Méthode : on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre (\(4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\dots\)), on écrit le nombre comme « carré parfait \(\times\) autre nombre », puis on utilise \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\).

a) \(\sqrt{50}\)

  1. Plus grand carré parfait qui divise 50. \(50\div49\) : non ; \(50\div36\) : non ; \(50\div25=2\) : oui.
  2. Je décompose et j'utilise la règle du produit. \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=\) \(5\sqrt{2}\).
Vérification : \(\sqrt{50}\approx7{,}071\) et \(5\sqrt2\approx7{,}071\).

b) \(\sqrt{27}\)

  1. Plus grand carré parfait qui divise 27. \(27\div25\) : non ; \(27\div16\) : non ; \(27\div9=3\) : oui.
  2. Je décompose. \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\times\sqrt{3}=\) \(3\sqrt{3}\).
Vérification : \(\sqrt{27}\approx5{,}196\) et \(3\sqrt3\approx5{,}196\).

c) \(\sqrt{180}\)

  1. Plus grand carré parfait qui divise 180. \(180\div100\), \(180\div81\), \(180\div64\), \(180\div49\) : non ; \(180\div36=5\) : oui. Si on prend 9 (180 = 9 × 20), on obtient 3√20, qu'il faut encore simplifier : 3 × 2√5 = 6√5. Prendre le plus grand carré va plus vite.
  2. Je décompose. \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\times\sqrt{5}=\) \(6\sqrt{5}\).
Vérification : \(\sqrt{180}\approx13{,}416\) et \(6\sqrt5\approx13{,}416\).

d) \(\sqrt{128}\)

  1. Plus grand carré parfait qui divise 128. \(128\div100\), \(128\div81\) : non ; \(128\div64=2\) : oui.
  2. Je décompose. \(\sqrt{128}=\sqrt{64\times2}=\sqrt{64}\times\sqrt{2}=\) \(8\sqrt{2}\).
Vérification : \(\sqrt{128}\approx11{,}314\) et \(8\sqrt2\approx11{,}314\).
Attention : \(\sqrt{50}\neq25\sqrt{2}\) ! On sort la racine du carré parfait : \(\sqrt{25}=5\).
À retenir : Connaître par cœur les carrés de \(1\) à \(12\) : \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144\).
5Réduire et calculer avec des racinesRacines carrées
Méthode : pour une somme, on simplifie chaque racine pour faire apparaître la même racine, puis on regroupe comme avec une lettre (\(6x-5x+2x=3x\)). Pour un produit ou un quotient : \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}\), \(\left(\sqrt a\right)^2=a\).

\(A=3\sqrt{12}-\sqrt{75}+2\sqrt{3}\)

  1. Je simplifie chaque racine. \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\).
  2. Je remplace. \(A=3\times2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}-5\sqrt{3}+2\sqrt{3}\).
  3. Je regroupe (comme 6x − 5x + 2x). \(A=(6-5+2)\sqrt{3}=\) \(3\sqrt{3}\).
Vérification : \(A\approx5{,}196\) et \(3\sqrt3\approx5{,}196\).

\(B=\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{80}\)

  1. Je simplifie chaque racine. \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt5\) ; \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt5\) ; \(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt5\).
  2. Je regroupe. \(B=2\sqrt5+3\sqrt5-4\sqrt5=(2+3-4)\sqrt5=\) \(\sqrt{5}\).
Vérification : \(B\approx2{,}236\) et \(\sqrt5\approx2{,}236\).

\(C=\sqrt{3}\times\sqrt{12}\)

  1. Règle du produit. \(C=\sqrt{3\times12}=\sqrt{36}=\) \(6\).

\(D=\left(3\sqrt{2}\right)^2\)

  1. Le carré porte sur les deux facteurs. \(D=3^2\times\left(\sqrt2\right)^2=9\times2=\) \(18\). Erreur classique : écrire 3 × 2 = 6 en oubliant d'élever 3 au carré.

\(E=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\)

  1. Règle du quotient. \(E=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=\) \(5\).
Interdit : \(\sqrt{20}+\sqrt{45}\neq\sqrt{65}\). La racine d'une somme n'est pas la somme des racines.
À retenir :
  • \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) et \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}\) : oui.
  • \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) : non.
  • \(\left(k\sqrt a\right)^2=k^2\times a\).
6Développer avec des racinesRacines carrées
Méthode : on utilise les identités remarquables \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) et \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), ou la double distributivité \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\), puis \(\left(\sqrt a\right)^2=a\).

\(F=\left(2+\sqrt{5}\right)^2\)

  1. Je reconnais (a + b)² avec a = 2 et b = √5. \(F=2^2+2\times2\times\sqrt5+\left(\sqrt5\right)^2\).
  2. Je calcule chaque terme. \(2^2=4\) ; \(2\times2\times\sqrt5=4\sqrt5\) ; \(\left(\sqrt5\right)^2=5\).
  3. Je réduis. \(F=4+4\sqrt5+5=\) \(9+4\sqrt5\).
Vérification : \((2+\sqrt5)^2\approx17{,}944\) et \(9+4\sqrt5\approx17{,}944\).

\(G=\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\)

  1. Je reconnais (a − b)(a + b) avec a = √3 et b = 1. \(G=\left(\sqrt3\right)^2-1^2=3-1=\) \(2\). Le résultat est un entier : les racines ont disparu.

\(H=\left(1+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)\)

  1. Pas d'identité remarquable : double distributivité. \(H=1\times3+1\times\left(-\sqrt2\right)+\sqrt2\times3+\sqrt2\times\left(-\sqrt2\right)\).
  2. Je calcule chaque produit. \(H=3-\sqrt2+3\sqrt2-2\). √2 × √2 = 2.
  3. Je regroupe les entiers et les racines. \(H=(3-2)+(-1+3)\sqrt2=\) \(1+2\sqrt2\).
Vérification : \(H\approx3{,}828\) et \(1+2\sqrt2\approx3{,}828\).

\(I=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\)

  1. Je multiplie en haut et en bas par √2. \(I=\dfrac{6\times\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt2}{2}\). On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre : la valeur ne change pas.
  2. Je simplifie. \(I=\) \(3\sqrt2\).
Vérification : \(6\div\sqrt2\approx4{,}243\) et \(3\sqrt2\approx4{,}243\).
Erreur fréquente : \(\left(2+\sqrt5\right)^2\neq4+5\). Il ne faut pas oublier le double produit \(2ab\).
À retenir : Identités remarquables : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) ; \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) ; \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

Partie C — Développer et factoriser

7Développer et réduireCalcul littéral
Méthode : distributivité simple \(k(a+b)=ka+kb\) ; double distributivité \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\) ; identités remarquables. Ensuite on réduit : on regroupe les termes en \(x^2\), en \(x\) et les constantes.

\(A=3(2x-5)-2(x-4)\)

  1. Je distribue 3. \(3(2x-5)=6x-15\).
  2. Je distribue −2 (avec son signe !). \(-2(x-4)=-2x+8\). −2 × (−4) = +8 : moins par moins donne plus.
  3. Je réduis. \(A=6x-15-2x+8=\) \(4x-7\).
Vérification : Pour \(x=1\) : \(3\times(-3)-2\times(-3)=-3\) et \(4-7=-3\).

\(B=(2x+3)(x-4)\)

  1. Double distributivité. \(B=2x\times x+2x\times(-4)+3\times x+3\times(-4)=2x^2-8x+3x-12\).
  2. Je réduis. \(B=\) \(2x^2-5x-12\).
Vérification : Pour \(x=1\) : \(5\times(-3)=-15\) et \(2-5-12=-15\).

\(C=(x+5)^2\)

  1. Identité (a + b)² avec a = x, b = 5. \(C=x^2+2\times x\times5+5^2=\) \(x^2+10x+25\).
Vérification : Pour \(x=1\) : \(6^2=36\) et \(1+10+25=36\).

\(D=(3x-2)^2\)

  1. Identité (a − b)² avec a = 3x, b = 2. \(D=(3x)^2-2\times3x\times2+2^2\).
  2. Je calcule chaque terme. \((3x)^2=9x^2\) ; \(2\times3x\times2=12x\) ; \(2^2=4\). Donc \(D=\) \(9x^2-12x+4\). (3x)² = 9x² et non 3x² : le carré porte sur 3 ET sur x.
Vérification : Pour \(x=1\) : \(1^2=1\) et \(9-12+4=1\).

\(E=(2x+7)(2x-7)\)

  1. Identité (a + b)(a − b) avec a = 2x, b = 7. \(E=(2x)^2-7^2=\) \(4x^2-49\).
Vérification : Pour \(x=1\) : \(9\times(-5)=-45\) et \(4-49=-45\).
Erreurs fréquentes : \((x+5)^2\neq x^2+25\) (oubli du double produit) ; \(-2(x-4)\neq-2x-8\) (oubli de la règle des signes).
À retenir : Pour vérifier un développement, on remplace \(x\) par une valeur simple (\(x=1\)) dans les deux expressions : on doit trouver le même résultat.
8FactoriserCalcul littéral
Méthode : on cherche d'abord un facteur commun \(k\) : \(ka+kb=k(a+b)\). Sinon, on cherche une identité remarquable lue « à l'envers » : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). On vérifie toujours en redéveloppant.

a) \(6x^2-9x\)

  1. Je cherche le facteur commun. \(6x^2=3x\times2x\) et \(9x=3x\times3\) : le facteur commun est \(3x\).
  2. Je factorise. \(6x^2-9x=\) \(3x(2x-3)\).
Vérification : \(3x\times2x-3x\times3=6x^2-9x\).

b) \(x^2-25\)

  1. Je reconnais a² − b². \(x^2-25=x^2-5^2\), avec \(a=x\) et \(b=5\).
  2. Je factorise. \(x^2-25=\) \((x-5)(x+5)\).
Vérification : \((x-5)(x+5)=x^2-25\).

c) \(x^2+6x+9\)

  1. Je repère deux carrés. \(x^2=(x)^2\) et \(9=3^2\) : on teste \(a=x\), \(b=3\).
  2. Je vérifie le double produit. \(2ab=2\times x\times3=6x\) : c'est bien le terme du milieu.
  3. Je factorise. \(x^2+6x+9=\) \((x+3)^2\).

d) \(4x^2-12x+9\)

  1. Je repère deux carrés. \(4x^2=(2x)^2\) et \(9=3^2\) : on teste \(a=2x\), \(b=3\).
  2. Je vérifie le double produit. \(2ab=2\times2x\times3=12x\), et il y a un signe \(-\) : c'est \((a-b)^2\).
  3. Je factorise. \(4x^2-12x+9=\) \((2x-3)^2\).

e) \((x+2)(3x-1)+(x+2)(x+4)\)

  1. Le facteur commun est la parenthèse (x + 2). \((x+2)\times\left[(3x-1)+(x+4)\right]\).
  2. Je réduis le crochet. \(3x-1+x+4=4x+3\), donc l'expression vaut \((x+2)(4x+3)\).
Vérification : Pour \(x=1\) : \(3\times2+3\times5=21\) et \(3\times7=21\).

f) \(9x^2-(x+1)^2\)

  1. Je reconnais a² − b². \(9x^2=(3x)^2\), donc \(a=3x\) et \(b=x+1\).
  2. J'applique a² − b² = (a − b)(a + b), avec des crochets. \(\left[3x-(x+1)\right]\left[3x+(x+1)\right]\). Les crochets sont indispensables : le signe − porte sur TOUT (x + 1).
  3. Je réduis chaque crochet. \(3x-x-1=2x-1\) et \(3x+x+1=4x+1\). Résultat : \((2x-1)(4x+1)\).
Vérification : Pour \(x=1\) : \(9-4=5\) et \(1\times5=5\).
Piège : \(x^2+25\) ne se factorise pas avec \(a^2-b^2\) (c'est une somme). Et en f), sans crochets on obtient \(3x-x+1\), ce qui est faux.
À retenir : Ordre de recherche : 1) facteur commun ; 2) \(a^2-b^2\) ; 3) \(a^2\pm2ab+b^2\). Toujours vérifier en développant.

Partie D — Bilan

9Choisir la bonne formeBilan
Méthode : une même expression a plusieurs formes. La forme développée est pratique pour \(x=0\) ou pour des racines ; la forme factorisée est pratique quand un facteur s'annule.

1) Forme développée

  1. Je développe (2x − 1)². \((2x-1)^2=4x^2-4x+1\).
  2. Je développe (x + 3)(2x − 1). \((x+3)(2x-1)=2x^2-x+6x-3=2x^2+5x-3\).
  3. Je soustrais : la parenthèse change tous les signes. \(E=4x^2-4x+1-\left(2x^2+5x-3\right)=4x^2-4x+1-2x^2-5x+3\).
  4. Je réduis. \(E=\) \(2x^2-9x+4\).

2) Forme factorisée

  1. Le facteur commun est (2x − 1). \(E=(2x-1)(2x-1)-(x+3)(2x-1)=(2x-1)\left[(2x-1)-(x+3)\right]\).
  2. Je réduis le crochet. \((2x-1)-(x+3)=2x-1-x-3=x-4\). Donc \(E=\) \((2x-1)(x-4)\).
Vérification : \((2x-1)(x-4)=2x^2-8x-x+4=2x^2-9x+4\) : on retrouve la forme développée.

3) Calculs

  1. Pour x = 0 : forme développée. \(E=2\times0^2-9\times0+4=\) \(4\).
  2. Pour x = 1/2 : forme factorisée. \(2\times\dfrac12-1=0\), donc \(E=0\times\left(\dfrac12-4\right)=\) \(0\). Un produit dont un facteur est nul est nul.
  3. Pour x = √2 : forme développée. \(E=2\left(\sqrt2\right)^2-9\sqrt2+4=2\times2-9\sqrt2+4=\) \(8-9\sqrt2\).
Vérification : \(8-9\sqrt2\approx-4{,}728\) ; avec la forme factorisée : \((2\sqrt2-1)(\sqrt2-4)\approx1{,}828\times(-2{,}586)\approx-4{,}728\).
Erreur fréquente : \(-\left(2x^2+5x-3\right)=-2x^2-5x+3\) : le signe moins devant la parenthèse change tous les signes.
À retenir : Avant de calculer, choisir la forme qui rend le calcul le plus simple.
10Le nombre d'orBilan
Méthode : \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}\) ; on développe le numérateur avec \((a+b)^2\), puis on simplifie la fraction. Pour démontrer une égalité, on calcule chaque membre séparément et on compare.

1) \(\varphi^2\)

  1. Le carré d'une fraction. \(\varphi^2=\dfrac{\left(1+\sqrt5\right)^2}{2^2}=\dfrac{\left(1+\sqrt5\right)^2}{4}\).
  2. Je développe le numérateur avec (a + b)². \(\left(1+\sqrt5\right)^2=1+2\sqrt5+5=6+2\sqrt5\).
  3. Je simplifie par 2. \(\varphi^2=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}=\dfrac{2\left(3+\sqrt5\right)}{2\times2}=\) \(\dfrac{3+\sqrt5}{2}\). On factorise le numérateur par 2 pour pouvoir simplifier : on ne simplifie que des facteurs.
Vérification : \(\varphi\approx1{,}618\), \(\varphi^2\approx2{,}618\) et \(\dfrac{3+\sqrt5}{2}\approx2{,}618\).

2) \(\varphi+1\) et conclusion

  1. J'écris 1 avec le dénominateur 2. \(\varphi+1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\).
  2. Je compare. \(\varphi^2=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\) et \(\varphi+1=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\), donc \(\varphi^2=\varphi+1\).
Erreur fréquente : \(\dfrac{6+2\sqrt5}{4}\neq\dfrac{6+\sqrt5}{2}\) : on doit diviser tous les termes du numérateur par 2.
À retenir : Fractions, racines et identités remarquables se combinent : on avance étape par étape, une règle à la fois.

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