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Chapitre 2 — Géométrie

Chapitre 2 Seconde — Vecteurs 1 — Translation et égalité de vecteurs

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📋 Sommaire

  1. Programme officiel (BO)
  2. Introduction
  3. Cours
  4. Exercices progressifs
  5. Fiche de synthèse
Programme officiel — Seconde générale et technologique 🔗 Source officielle (education.gouv.fr — BO du 2 avril 2026) 

Capacités et contenus exigibles — Programme officiel (BO)

  • Représenter un vecteur par une flèche et connaître son sens, sa direction et sa norme.
  • Utiliser la relation de Chasles.
  • Additionner des vecteurs géométriquement (règle du parallélogramme et méthode de la chaîne).
  • Multiplier un vecteur par un réel.
  • Caractériser la colinéarité de deux vecteurs.
  • Utiliser les vecteurs pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

1. Introduction

Les vecteurs sont des objets mathématiques qui modélisent les déplacements. Ce premier chapitre introduit les vecteurs à travers la notion de translation, sans faire appel aux coordonnées. L'objectif est de construire une intuition géométrique solide avant d'aborder le calcul vectoriel dans le repère.

2. Cours

A — Translation

Définition — Translation

Une translation est un déplacement qui fait glisser toute figure dans la même direction, le même sens et la même distance, sans rotation ni déformation.

MNPM′N′P′u
Le triangle \(M'N'P'\) est l'image du triangle \(MNP\) par la translation de vecteur \(\vec u\) : chaque point a glissé de la même façon.

Définition — Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) décrit le déplacement du point \(A\) vers le point \(B\). Il est caractérisé par sa direction (droite \((AB)\)), son sens (de \(A\) vers \(B\)) et sa norme (longueur \(AB\)).

direction : droite (AB)ABnorme : longueur ABsens : de A vers B
Un vecteur non nul est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme.

Définition — Vecteur nul

Pour tout point \(A\), le vecteur \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\) est le vecteur nul.

⚠️ Point de vigilance : \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\). On a \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).

B — Égalité de vecteurs

Définition — Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme (non croisé).

ABCDABDCABCD
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) : le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme. Attention à l'ordre des sommets.

Propriété — Parallélogramme

\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

⚠️ Point de vigilance : Pour le parallélogramme \(ABCD\), c'est \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) (et non \(\overrightarrow{CD}\)). L'ordre des sommets compte.

↗️ Atelier guidé — Translation et égalité de vecteurs pas à pas

Entraîne-toi étape par étape : vocabulaire (direction, sens, norme), image d'un point par une translation, égalités de vecteurs et parallélogramme, et un défi de démonstration. Chaque exercice se termine par une rédaction à compléter, avec des exercices aléatoires illimités.

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C — Relation de Chasles

Propriété — Relation de Chasles

Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

ABCABBCAC
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) : l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.

Méthode — Simplifier avec Chasles

On enchaîne les points : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\). L'extrémité d'un vecteur doit être l'origine du suivant.

Propriété — Règle du parallélogramme

Si \(ABCD\) est un parallélogramme (de centre \(I\)) : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\).

ABCDABADAC
Si \(ABCD\) est un parallélogramme, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) car \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

🔗 Atelier guidé — Relation de Chasles pas à pas

Entraîne-toi étape par étape : enchaîner les vecteurs, réordonner une somme, utiliser les opposés et le vecteur nul, et un défi sur la règle du parallélogramme. Chaque exercice se termine par une rédaction à compléter, avec des exercices aléatoires illimités.

Commencer l'atelier →

3. Exercices progressifs

Exercice 1 — Relation de Chasles

Simplifier : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).

Exercice 2 — Parallélogramme

Dans le parallélogramme \(ABCD\), compléter : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\phantom{DC}}\), \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{\phantom{BC}}\).

Exercice 3 — Vrai ou faux

  1. Si deux vecteurs ont la même norme, alors ils sont égaux.
  2. Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), alors les segments \([AB]\) et \([CD]\) ont la même longueur.
  3. Dans un parallélogramme \(ABCD\), on a toujours \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).

4. Fiche de synthèse

À retenir — Vecteur

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme.

À retenir — Relation de Chasles

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

À retenir — Parallélogramme

Dans un parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).