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Correction - Exercice 46
Synthèse 1 · Niveau 2 - Consolidation
Enonce
Soit :
\[
f(x)=x^3-6x^2+9x+1.
\]
- Calculer \(f'(x)\).
- Factoriser \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Dresser le tableau de variations de \(f\).
- Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(3)\).
- Résoudre \(f(x)=1\).
Correction
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- \(f'(x)=3x^2-12x+9\).
- \(f'(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\).
- \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;1[\cup]3;+\infty[\), et \(f'(x)<0\) sur \(]1;3[\).
- \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\), décroissante sur \([1;3]\), puis croissante sur \([3;+\infty[\).
- \(f(0)=1\), \(f(1)=6\), \(f(3)=1\).
- \(f(x)=1\Longleftrightarrow x^3-6x^2+9x=0\Longleftrightarrow x(x-3)^2=0\). Donc \(S=\{0;3\}\).
