← Chapitre « Récurrence et Suites »
Terminale spécialité · Préparer l'évaluation

Récurrence, suites et limites : je me prépare

Les méthodes à connaître par cœur, un plan de révision, une check-list, et deux sujets officiels du bac (suites uniquement) avec corrections très détaillées.

1. Comment réviser (plan sur une semaine)

  1. J-7Relire le cours et recopier sur une fiche les définitions (suite croissante, majorée, convergente) et les théorèmes (convergence monotone, comparaison, gendarmes, limite de \(q^n\)).
  2. J-6Récurrence : refaire 3 récurrences en rédigeant les 3 étapes complètes (méthode M1). Chronométrez-vous : une récurrence simple, c'est 5 minutes.
  3. J-5Sens de variation et suites bornées (méthodes M2 et M3) : pour chaque exercice, dites d'abord quelle méthode vous choisissez et pourquoi.
  4. J-4Limites : opérations, formes indéterminées, comparaison, \(q^n\) (méthodes M4 à M6).
  5. J-3Sujet 1 en conditions réelles (45 min, sans regarder la correction), puis correction avec un stylo d'une autre couleur.
  6. J-2Sujet 2 en conditions réelles, puis correction. Notez vos erreurs dans la rubrique « Pièges ».
  7. J-1Check-list : tout doit être coché. Relisez seulement vos fiches méthodes. Dormez !

2. Les méthodes à maîtriser

M1Démontrer une propriété par récurrence

On veut démontrer que pour tout entier naturel \(n \geqslant n_0\), une propriété \(P(n)\) est vraie.

  1. Énoncer la propriété : « Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), notons \(P(n)\) : … ».
  2. Initialisation : vérifier \(P(n_0)\) par un calcul explicite (on écrit les deux membres).
  3. Hérédité : « Soit \(k\) un entier naturel fixé. Supposons \(P(k)\) vraie. Montrons que \(P(k+1)\) est vraie. » Puis on part de la relation de récurrence \(u_{k+1}=\dots\) et on utilise l'hypothèse.
  4. Conclusion : « La propriété est vraie au rang \(n_0\) et héréditaire ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout \(n\geqslant n_0\). »
Astuce pour un encadrement \(a\leqslant u_n\leqslant b\) avec \(u_{n+1}=f(u_n)\) : on part de l'hypothèse \(a\leqslant u_n\leqslant b\) et on applique une à une les opérations de \(f\) (multiplier par un positif : on garde le sens ; par un négatif : on change le sens ; ajouter : on garde). Si \(f\) est croissante sur \([a;b]\), on peut écrire directement \(f(a)\leqslant f(u_n)\leqslant f(b)\).

M2Étudier le sens de variation d'une suite

  • Différence (la plus courante) : étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\). Si \(\geqslant 0\) pour tout \(n\) : croissante ; si \(\leqslant 0\) : décroissante. Penser à factoriser ou à utiliser un encadrement déjà démontré.
  • Quotient (si tous les \(u_n>0\)) : comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\). Pratique avec des puissances ou des produits.
  • Fonction (si \(u_n=f(n)\)) : le sens de variation de \(f\) sur \([0;+\infty[\) donne celui de \((u_n)\).
  • Récurrence (si \(u_{n+1}=f(u_n)\)) : démontrer \(u_n\leqslant u_{n+1}\) (ou \(u_{n+1}\leqslant u_n\)) par récurrence, en utilisant que \(f\) est croissante.
Si \(u_{n+1}=f(u_n)\), le sens de variation de \(f\) ne donne pas celui de la suite ! Il sert seulement dans l'hérédité.

M3Montrer qu'une suite est majorée, minorée, bornée

  • Avec une forme explicite : encadrer à partir d'une inégalité connue (par exemple \(0<q^n\leqslant 1\) si \(0<q<1\)).
  • Avec une relation de récurrence : récurrence (M1).
  • Une suite croissante est minorée par son premier terme ; une suite décroissante est majorée par son premier terme.

M4Démontrer qu'une suite converge (sans calculer sa limite)

Théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Rédaction type : « La suite \((u_n)\) est décroissante (question …) et minorée par \(0\) (question …). D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\) avec \(\ell\geqslant 0\). »

⚠ Le minorant n'est pas forcément la limite : on sait seulement \(\ell\geqslant\) minorant.

M5Calculer une limite

  • Limites de référence : \(\lim n=+\infty\), \(\lim n^2=+\infty\), \(\lim \sqrt n=+\infty\), \(\lim \dfrac1n=0\).
  • Suite géométrique \(q^n\) : si \(q>1\), \(\lim q^n=+\infty\) ; si \(-1<q<1\), \(\lim q^n=0\) ; si \(q=1\), la suite est constante ; si \(q\leqslant -1\), pas de limite.
  • Opérations (somme, produit, quotient). Les 4 formes indéterminées : « \(+\infty-\infty\) », « \(0\times\infty\) », « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) », « \(\dfrac{0}{0}\) ».
  • Lever une indétermination : factoriser par le terme « dominant » (la plus grande puissance de \(n\), ou le \(q^n\) avec le plus grand \(q\)), ou multiplier par la quantité conjuguée pour des racines.
  • Comparaison : si \(u_n\geqslant v_n\) et \(\lim v_n=+\infty\), alors \(\lim u_n=+\infty\) (de même avec \(-\infty\)).
  • Gendarmes : si \(v_n\leqslant u_n\leqslant w_n\) et \(\lim v_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim u_n=\ell\). Typique avec \(\cos\), \(\sin\), \((-1)^n\).
Rédaction type : « Comme \(0<0{,}9<1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n=0\), donc par produit \(\lim\limits_{n\to+\infty}2\times0{,}9^n=0\) et par somme \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-3\). »

M6Trouver la limite quand \(u_{n+1}=f(u_n)\) (« point fixe »)

Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) (prouvé avant, souvent par M4) et si \(f\) est continue, alors \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\).

  1. Justifier la convergence et la continuité de \(f\).
  2. Résoudre \(f(\ell)=\ell\).
  3. S'il y a plusieurs solutions, éliminer celles qui contredisent les encadrements (par exemple \(\ell\geqslant0\)).

M7Suite arithmético-géométrique \(u_{n+1}=au_n+b\) : suite auxiliaire

  1. On pose \(v_n=u_n-c\) (le \(c\) est donné ; c'est la solution de \(c=ac+b\)).
  2. On calcule \(v_{n+1}=u_{n+1}-c=au_n+b-c=\dots=a\,v_n\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\).
  3. \(v_n=v_0\,a^n\), puis \(u_n=v_n+c=v_0\,a^n+c\).
  4. Limite : avec M5 (limite de \(a^n\)).

M8Seuil : résoudre \(u_n\leqslant A\) et algorithme Python

  • Par encadrement : avec la table de valeurs de la calculatrice, on encadre le seuil \(A\) entre deux termes consécutifs, par exemple \(u_N\leqslant A<u_{N-1}\). Puis on conclut avec la monotonie : si \((u_n)\) est décroissante, \(u_n\leqslant u_N\leqslant A\) pour tout \(n\geqslant N\), et \(u_n\geqslant u_{N-1}>A\) pour tout \(n\leqslant N-1\).
  • Python : la boucle while tourne tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte.
def seuil(A):
    u = u0          # premier terme
    n = 0
    while u > A:    # tant que le seuil n'est pas atteint
        u = a*u + b # terme suivant
        n = n + 1
    return n

3. Les pièges qui coûtent des points

Hérédité « circulaire ». On ne part jamais de \(P(k+1)\) ! On part de \(P(k)\) (hypothèse) et on arrive à \(P(k+1)\).
« Pour tout \(k\) » dans l'hérédité. On écrit « Soit \(k\) fixé tel que \(P(k)\) est vraie », pas « Supposons \(P(k)\) vraie pour tout \(k\) » (ce serait supposer ce qu'on veut démontrer).
Oublier la conclusion de la récurrence : elle est notée.
Multiplier une inégalité par un négatif sans changer le sens.
Minorée par 20 ≠ tend vers 20. Le théorème de convergence monotone ne donne pas la valeur de la limite.
Point fixe sans justification : il faut d'abord savoir que la suite converge et que \(f\) est continue.
À retenir. Dans un sujet de bac, les questions s'enchaînent : borne (récurrence) → sens de variation → convergence (théorème) → valeur de la limite (forme explicite ou point fixe) → seuil. Réutilisez toujours les questions précédentes en les citant (« d'après la question 1.a »).

4. Check-list : je suis prêt(e) si je sais…

0 / 12 compétences cochées

5. Sujet 1 — Le gâteau qui refroidit

Exercice 2 (7 points) — Thème : suites

Baccalauréat spécialité, Amérique du Nord, jour 1, 18 mai 2022 · Durée conseillée : 45 min
RécurrenceSens de variationConvergence monotoneSuite auxiliaire géométriqueLimiteSeuil / Python

Dans cet exercice, on considère la suite \((T_n)\) définie par :

\(T_0=180\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(T_{n+1}=0{,}955\,T_n+0{,}9\).

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(T_n\geqslant 20\). M1

Indice
Dans l'hérédité, partez de \(T_k\geqslant 20\), multipliez par \(0{,}955\) (positif), puis ajoutez \(0{,}9\).
Correction détaillée
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), notons \(P(n)\) : « \(T_n\geqslant 20\) ».
Initialisation. \(T_0=180\) et \(180\geqslant 20\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(k\) un entier naturel fixé. Supposons \(P(k)\) vraie : \(T_k\geqslant 20\). Montrons que \(T_{k+1}\geqslant 20\).
On multiplie par \(0{,}955>0\) (le sens est conservé) : \(0{,}955\,T_k\geqslant 0{,}955\times20=19{,}1\).
On ajoute \(0{,}9\) : \(0{,}955\,T_k+0{,}9\geqslant 19{,}1+0{,}9=20\), c'est-à-dire \(T_{k+1}\geqslant 20\). Donc \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(T_n\geqslant 20\).

1. b. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\), \(T_{n+1}-T_n=-0{,}045\,(T_n-20)\). En déduire le sens de variation de la suite \((T_n)\). M2

Indice
Calculez \(T_{n+1}-T_n\) avec la définition, puis développez \(-0{,}045(T_n-20)\) et comparez. Le signe de \(T_n-20\) vient de la question 1.a.
Correction détaillée
Calcul. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(T_{n+1}-T_n=0{,}955\,T_n+0{,}9-T_n=-0{,}045\,T_n+0{,}9\).
Or \(-0{,}045\,(T_n-20)=-0{,}045\,T_n+0{,}045\times20=-0{,}045\,T_n+0{,}9\). Les deux expressions sont égales : \(T_{n+1}-T_n=-0{,}045\,(T_n-20)\).
Signe. D'après 1.a, \(T_n\geqslant20\), donc \(T_n-20\geqslant0\). Comme \(-0{,}045<0\), le produit \(-0{,}045\,(T_n-20)\) est \(\leqslant 0\).
Conclusion. Pour tout \(n\), \(T_{n+1}-T_n\leqslant0\) : la suite \((T_n)\) est décroissante.

1. c. Conclure de ce qui précède que la suite \((T_n)\) est convergente. Justifier. M4

Correction détaillée
La suite \((T_n)\) est décroissante (1.b) et minorée par \(20\) (1.a). D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\), avec \(\ell\geqslant 20\).
Remarque : on ne sait pas encore que \(\ell=20\) ; c'est la question 2.c qui le montre.

2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(u_n=T_n-20\).

2. a. Montrer que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison. M7

Indice
Écrivez \(u_{n+1}=T_{n+1}-20\), remplacez \(T_{n+1}\), puis factorisez par \(0{,}955\). Il faut faire apparaître \(T_n-20=u_n\).
Correction détaillée
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(u_{n+1}=T_{n+1}-20=0{,}955\,T_n+0{,}9-20=0{,}955\,T_n-19{,}1\).
Or \(19{,}1=0{,}955\times20\), donc \(u_{n+1}=0{,}955\,(T_n-20)=0{,}955\,u_n\).
La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q=0{,}955\) et de premier terme \(u_0=T_0-20=160\).

2. b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(T_n=20+160\times0{,}955^n\).

Correction détaillée
\((u_n)\) étant géométrique : \(u_n=u_0\times q^n=160\times0{,}955^n\).
Comme \(T_n=u_n+20\), on obtient \(T_n=20+160\times0{,}955^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. c. Calculer la limite de la suite \((T_n)\). M5

Correction détaillée
Comme \(0<0{,}955<1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}955^n=0\).
Par produit, \(\lim\limits_{n\to+\infty}160\times0{,}955^n=0\), puis par somme \(\lim\limits_{n\to+\infty}T_n=20\).

2. d. Résoudre l'inéquation \(T_n\leqslant 120\) d'inconnue \(n\) entier naturel. M8

Indice
Encadrez \(120\) entre deux termes consécutifs de la suite (table de valeurs de la calculatrice), puis concluez avec la décroissance de \((T_n)\) (question 1.b).
Correction détaillée
Encadrement du seuil. Avec la table de valeurs de la suite \((T_n)\) à la calculatrice :
\(n\)1011
\(T_n\)\(\approx120{,}96\)\(\approx116{,}42\)
On obtient l'encadrement \(T_{11}\leqslant120<T_{10}\).
Monotonie. Comme \((T_n)\) est décroissante (question 1.b), \(T_n\leqslant T_{11}\leqslant120\) pour tout \(n\geqslant11\), et \(T_n\geqslant T_{10}>120\) pour \(n\leqslant10\).
Conclusion. L'ensemble des solutions est \(\{n\in\mathbb{N}\,;\,n\geqslant11\}\).

3. Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de 180 °C et celle de l'air ambiant de 20 °C. La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente \((T_n)\). Plus précisément, \(T_n\) représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, \(n\) minutes après sa sortie du four.

3. a. Expliquer pourquoi la limite de la suite \((T_n)\) déterminée à la question 2.c était prévisible dans le contexte de l'exercice.

Correction détaillée
Avec le temps, le gâteau se refroidit jusqu'à atteindre la température de la pièce. Il est donc logique que \(T_n\) tende vers la température de l'air ambiant, soit \(20\) °C.

3. b. On considère la fonction Python ci-dessous :

def temp(x) :
    T = 180
    n = 0
    while T > x :
        T = 0.955*T + 0.9
        n = n + 1
    return n

Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. M8

Correction détaillée
Ce que fait le programme. Il calcule les termes \(T_0, T_1, T_2,\dots\) tant que \(T>120\), et compte le nombre d'étapes \(n\). Il s'arrête au premier \(n\) tel que \(T_n\leqslant120\).
Résultat. D'après 2.d, le plus petit entier \(n\) tel que \(T_n\leqslant120\) est \(11\) : temp(120) renvoie 11.
Interprétation. Il faut attendre 11 minutes après la sortie du four pour que la température au centre du gâteau soit inférieure ou égale à 120 °C.

6. Sujet 2 — La suite \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\)

Exercice 3 (7 points) — Thème : suites

Baccalauréat spécialité, Polynésie, 4 mai 2022 · Durée conseillée : 45 min
Calcul de termesPythonSens de variationConvergence monotonePoint fixeConjecture + récurrence

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\).

1. a. Calculer les termes \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

Correction détaillée
\(u_1=\dfrac{u_0}{1+u_0}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12\).
\(u_2=\dfrac{\frac12}{1+\frac12}=\dfrac{\frac12}{\frac32}=\dfrac12\times\dfrac23=\dfrac13\).
\(u_3=\dfrac{\frac13}{1+\frac13}=\dfrac{\frac13}{\frac43}=\dfrac13\times\dfrac34=\dfrac14\).

1. b. Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel \(k\) et renvoie la liste des premières valeurs de la suite \((u_n)\) de \(u_0\) à \(u_k\).

1. def liste(k) :
2.     L = []
3.     u = ...
4.     for i in range(0, k+1) :
5.         L.append(u)
6.         u = ...
7.     return(L)
Correction détaillée
Ligne 3 : on initialise avec le premier terme : u = 1.
Ligne 6 : on calcule le terme suivant avec la relation de récurrence : u = u/(1+u).
La boucle fait \(k+1\) tours (\(i\) va de \(0\) à \(k\)) : elle ajoute \(u_0,u_1,\dots,u_k\) à la liste. Par exemple liste(3) renvoie [1, 0.5, 0.333…, 0.25].

2. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\). M2

Indice
Calculez \(u_{n+1}-u_n\) en mettant au même dénominateur \(1+u_n\).
Correction détaillée
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n=\dfrac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n}=\dfrac{u_n-u_n-u_n^2}{1+u_n}=\dfrac{-u_n^2}{1+u_n}\).
Signe. \(u_n>0\) donc \(u_n^2>0\) et \(-u_n^2<0\) ; de plus \(1+u_n>1>0\). Le quotient est strictement négatif.
Conclusion. Pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_n<0\) : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

3. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. M4

Correction détaillée
La suite \((u_n)\) est décroissante (question 2) et minorée par \(0\) (car \(u_n>0\) pour tout \(n\), résultat admis). D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\geqslant0\).

4. Déterminer la valeur de sa limite. M6

Indice
Posez \(f(x)=\dfrac{x}{1+x}\) sur \([0;+\infty[\) : \(u_{n+1}=f(u_n)\). Résolvez \(f(\ell)=\ell\).
Correction détaillée
Posons \(f(x)=\dfrac{x}{1+x}\) pour \(x\in[0;+\infty[\). Alors \(u_{n+1}=f(u_n)\) et \(f\) est continue sur \([0;+\infty[\) (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas).
Comme \((u_n)\) converge vers \(\ell\geqslant0\) et que \(f\) est continue en \(\ell\), la limite vérifie \(f(\ell)=\ell\).
Résolution. \(\dfrac{\ell}{1+\ell}=\ell \iff \ell=\ell(1+\ell)\) (car \(1+\ell\neq0\)) \(\iff \ell=\ell+\ell^2 \iff \ell^2=0 \iff \ell=0\).
Conclusion. \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\).

5. a. Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée
\(u_0=\dfrac11,\ u_1=\dfrac12,\ u_2=\dfrac13,\ u_3=\dfrac14\) : le dénominateur vaut le rang plus 1. On conjecture que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\).

5. b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente. M1

Indice
Dans l'hérédité, remplacez \(u_k\) par \(\dfrac1{k+1}\) dans \(\dfrac{u_k}{1+u_k}\) et simplifiez la fraction de fractions.
Correction détaillée
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), notons \(P(n)\) : « \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\) ».
Initialisation. \(u_0=1\) et \(\dfrac{1}{0+1}=1\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(k\) un entier naturel fixé. Supposons \(P(k)\) vraie : \(u_k=\dfrac1{k+1}\). Montrons que \(u_{k+1}=\dfrac{1}{k+2}\).
\(u_{k+1}=\dfrac{u_k}{1+u_k}=\dfrac{\frac{1}{k+1}}{1+\frac{1}{k+1}}=\dfrac{\frac{1}{k+1}}{\frac{k+2}{k+1}}=\dfrac{1}{k+1}\times\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{1}{k+2}\). Donc \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=\dfrac1{n+1}\).
Vérification. \(\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\) donc, par quotient, \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{n+1}=0\) : on retrouve le résultat de la question 4.

Énoncés : sujets officiels du baccalauréat (spécialité mathématiques, session 2022), d'après les annales de l'APMEP. Corrections rédigées pour cette page.