Dans l’espace, \(A(1;2;-1)\) et \(B(4;-1;3)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et sa norme.

Les vecteurs \[\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \vec v=\begin{pmatrix}6\\-3\\9\end{pmatrix}\] sont-ils colinéaires ? Justifier.

Donner une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(1;0;2)\) de vecteur directeur \[\vec u=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}.\]

On considère la droite \(d\) de représentation paramétrique :

\[\begin{cases}x=1+3t\\y=-t\\z=2+4t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}\]

Le point \(M(7;-2;10)\) appartient-il à \(d\) ?

On donne \(A(1;2;0)\), \(M(5;0;6)\) et le vecteur directeur \[\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}.\]

Tester si \(M\) appartient à la droite passant par \(A\) de direction \(\vec u\).

On considère les droites \(d_1\) et \(d_2\) données par :

\[d_1:\quad \begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3+2t\end{cases}\quad \text{avec } t\in\mathbb{R}\]

\[d_2:\quad \begin{cases}x=2+s\\y=1\\z=5\end{cases}\quad \text{avec } s\in\mathbb{R}\]

Déterminer si ces deux droites sont sécantes. Si oui, donner leur point d’intersection.

Les vecteurs \[\vec u=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\quad \vec v=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix},\quad \vec w=\begin{pmatrix}5\\0\\5\end{pmatrix}\] sont-ils coplanaires ?

On pourra chercher deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\).