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Correction - Exercice 20
Étude complète de fonction · Niveau 2 - Consolidation
Enonce
Soit :
\[
f(x)=x^3-3x^2-9x+1.
\]
- Calculer \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Dresser le tableau de variations de \(f\).
- Déterminer les extremums locaux.
- Résoudre \(f(x)=0\) graphiquement ou numériquement.
Correction
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- \(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\).
- \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[\) et \(f'(x)<0\) sur \(]-1;3[\).
- \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-1]\), décroissante sur \([-1;3]\), puis croissante sur \([3;+\infty[\).
- \(f(-1)=6\) : maximum local. \(f(3)=-26\) : minimum local.
- Numériquement, \(f(x)=0\) admet trois solutions : \(x\approx-2{,}11\), \(x\approx0{,}11\), \(x\approx5{,}00\).
