Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{2n^2+5}\).

1. Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
2. Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
3. Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.

Pour la variante : Variante : déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{5n^3-n}{2n^3+7}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Étudier la limite de \(u_n=\sqrt{n^2+3n}-n\).

1. Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
2. Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
3. Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.

Pour la variante : Variante : étudier \(\sqrt{4n^2+n}-2n\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Déterminer la limite de \(u_n=7\left(\frac34\right)^n\).

1. Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
2. Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
3. Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.

Pour la variante : Variante : \(v_n=-5\left(\frac25\right)^n\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : On sait que \(0\leq u_n\leq \frac{3}{n+1}\). Déterminer la limite de \(u_n\).

1. Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
2. Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
3. Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.

Pour la variante : Variante : \(-\frac2n\leq v_n\leq \frac2n\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Variante 1 : \(3^n+2^n=3^n\left[1+\left(\frac23\right)^n\right]\) et \(2\times3^n+1=3^n\left[2+\left(\frac13\right)^n\right]\). En simplifiant par \(3^n\), qui est non nul, on obtient \(u_n=\dfrac{1+\left(\frac23\right)^n}{2+\left(\frac13\right)^n}\).

Les raisons \(\frac23\) et \(\frac13\) sont comprises strictement entre \(0\) et \(1\), donc les deux puissances tendent vers \(0\). Le numérateur tend vers \(1\) et le dénominateur vers \(2\ne0\). Par quotient, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac12\).

Variante 2 : \(2\times5^n-3^n=5^n\left[2-\left(\frac35\right)^n\right]\) et \(5^n+4\times3^n=5^n\left[1+4\left(\frac35\right)^n\right]\). Après simplification par \(5^n\), on obtient \(u_n=\dfrac{2-\left(\frac35\right)^n}{1+4\left(\frac35\right)^n}\).

Comme \(0<\frac35<1\), \(\left(\frac35\right)^n\) tend vers \(0\). Le numérateur tend vers \(2\) et le dénominateur vers \(1\ne0\). Par quotient, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\).

Point de méthode : factoriser avant de calculer la limite ; utiliser \(\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac ab\right)^n\). On utilise uniquement les limites de suites géométriques et les opérations sur les limites.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Soit \(u_n=\dfrac{2+\sin(n)}{n}\). Encadrer \(u_n\) et en déduire sa limite.

1. Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
2. Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
3. Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.

Pour la variante : Variante : \(v_n=\dfrac{n+\cos(n^2)}{n^2+1}\). Même méthode.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Variante 1 :

1. \(v_{n+1}=u_{n+1}-20=0{,}6u_n+8-20=0{,}6(u_n-20)=0{,}6v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(0{,}6\).
2. \(v_0=10-20=-10\), donc \(v_n=-10(0{,}6)^n\).
3. Comme \(u_n=v_n+20\), on obtient \(u_n=20-10(0{,}6)^n\).
4. Puisque \(0<0{,}6<1\), \((0{,}6)^n\) tend vers \(0\). Par opérations sur les limites, \(\lim_{n\to+\infty}u_n=20\).

Variante 2 :

1. \(v_{n+1}=u_{n+1}-8=0{,}5u_n+4-8=0{,}5(u_n-8)=0{,}5v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(0{,}5\).
2. \(v_0=2-8=-6\), donc \(v_n=-6(0{,}5)^n\).
3. Comme \(u_n=v_n+8\), on obtient \(u_n=8-6(0{,}5)^n\).
4. Puisque \(0<0{,}5<1\), \((0{,}5)^n\) tend vers \(0\). Ainsi, \(\lim_{n\to+\infty}u_n=8\).

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Un capital de \(1\,500\) € est placé à \(3{,}2\,\%\) par an. À partir de quelle année dépasse-t-il \(2\,000\) € ?

1. Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
2. Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
3. Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.

Pour la variante : Variante : \(2\,000\) €, taux \(2{,}5\,\%\), seuil \(3\,000\) €.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Sans calcul long, identifier le terme dominant de \(u_n=\frac{4n^3-2n}{7n^3+n^2+1}\), puis conjecturer sa limite.

1. Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
2. Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
3. Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.

Pour la variante : Variante : \(v_n=\frac{-2n^2+5}{3n^2-n}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.