On considère \(P(n): 2^n \geq n+1\). Vérifier l’initialisation puis démontrer l’hérédité.

Démontrer que \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) pour tout \(n\geq1\).

\(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n-1\). Calculer \(u_1,u_2,u_3\), puis conjecturer le sens de variation.

\(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3}\). Montrer par récurrence que \(u_n\leq1\).

Déterminer à partir de quel rang initialiser une récurrence pour démontrer \(P(n): n^2\geq 2n+1\).