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Correction - Exercice 26
Étude de fonction avec exponentielle · Niveau 2 - Consolidation
Enonce
Soit :
\[
f(x)=(x-2)e^x.
\]
- Calculer \(f'(x)\).
- Factoriser \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Dresser le tableau de variations de \(f\).
- Calculer le minimum de \(f\).
Correction
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- \(f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x\).
- \(f'(x)=(x-1)e^x\).
- Comme \(e^x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-1\).
- \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\), puis croissante sur \([1;+\infty[\).
- Le minimum est atteint en \(x=1\) : \(f(1)=(1-2)e=-e\).
