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Correction - Exercice 24
Inéquations avec exponentielle · Niveau 1 - Automatismes
Enonce
Résoudre dans \(\R\) :
- \(e^x<e^2\)
- \(e^{3x+1}\geq e^7\)
- \(e^{-2x+5}<e\)
- \(e^{x^2-1}\leq e^3\)
- \(e^{x^2}\geq e\)
- \(e^{1-x}\leq 1\)
- \(e^{2x}-e^x>0\)
Correction
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- \(e^x<e^2\Longleftrightarrow x<2\).
- \(3x+1\geq7\Longleftrightarrow x\geq2\).
- \(-2x+5<1\Longleftrightarrow x>2\).
- \(x^2-1\leq3\Longleftrightarrow x^2\leq4\), donc \(S=[-2;2]\).
- \(x^2\geq1\), donc \(S=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\).
- \(e^{1-x}\leq1=e^0\Longleftrightarrow1-x\leq0\), donc \(x\geq1\).
- \(e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1)>0\). Comme \(e^x>0\), \(e^x>1\), donc \(x>0\).