UTSPE · Terminale spécialité

Apprendre à rédiger une récurrence

Six étapes pour passer du modèle entièrement commenté à une démonstration autonome, rigoureuse et complète.

Niveau 1 sur 6 · J’observe
Objectif : savoir rédiger seul
Exercice fil rouge. Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=2\) et, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_{n+1}=2u_n+1\). Démontrer par récurrence que \[\forall n\in\mathbb N,\qquad u_n=3\times2^n-1.\]
Niveau 1 · Modèle commenté

J’observe une rédaction complète

Chaque phrase possède une fonction précise. Lisez les explications grisées.

Propriété. Posons \(P(n)\) la propriété : « \(u_n=3\times2^n-1\) ».On nomme exactement l’affirmation à démontrer.
Initialisation. Pour \(n=0\), on a \(u_0=2\). D’autre part, \(3\times2^0-1=2\). Ainsi, \(P(0)\) est vraie.On vérifie la propriété au premier rang.
Hérédité. Soit \(k\in\mathbb N\). Supposons que \(P(k)\) soit vraie, c’est-à-dire \(u_k=3\times2^k-1\). Montrons que \(P(k+1)\) est vraie. \[\begin{aligned}u_{k+1}&=2u_k+1\\&=2\left(3\times2^k-1\right)+1\\&=6\times2^k-1\\&=3\times2^{k+1}-1.\end{aligned}\] Ainsi, \(P(k+1)\) est vraie.L’hypothèse au rang \(k\) permet d’atteindre le rang \(k+1\).
Conclusion. La propriété \(P(0)\) est vraie et, pour tout \(k\in\mathbb N\), \(P(k)\) vraie entraîne \(P(k+1)\) vraie. D’après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(\boxed{u_n=3\times2^n-1}\).
Niveau 2 · Architecture

Je remets les étapes dans l’ordre

Attribuez à chaque extrait sa place dans la démonstration.

« Posons \(P(n)\) la propriété : \(u_n=3\times2^n-1\). »
« Pour \(n=0\), \(u_0=2\) et \(3\times2^0-1=2\). Donc \(P(0)\) est vraie. »
« Soit \(k\in\mathbb N\). Supposons \(P(k)\) vraie et montrons \(P(k+1)\). »
« D’après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\). »
Niveau 3 · Texte à trous

Je complète les éléments essentiels

Posons \(P(n)\) la propriété : « \(u_n=\) ».

Initialisation

Pour \(n=\) , on a \(u_0=2\). D’autre part, \(3\times2^0-1=\) . Donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité

Soit \(k\in\mathbb N\). Supposons \(P(k)\) vraie : \(u_k=\) .

\(u_{k+1}=2u_k+1=2(3\times2^k-1)+1=\) .

Ainsi, \(P(\) \()\) est vraie.

Niveau 4 · Questions-guides

Je rédige avec des questions

Partez de \(u_{k+1}=2u_k+1\), puis remplacez \(u_k\) grâce à l’hypothèse de récurrence.
Votre rédaction doit faire apparaître \(P(n)\), la vérification de \(P(0)\), l’hypothèse \(P(k)\), l’objectif \(P(k+1)\), le calcul et la conclusion complète.
Niveau 5 · Plan seulement

Je rédige à partir des quatre titres

Propriété \(P(n)\)

Initialisation

Hérédité

Conclusion

Niveau 6 · Autonomie

Je rédige seul

Consigne. Rédigez la démonstration complète, sans plan ni phrase proposée.
Commencez par nommer précisément la propriété. Le premier rang est 0.
Autoévaluation : propriété posée ; initialisation calculée ; entier \(k\) quelconque ; hypothèse explicitée ; objectif \(P(k+1)\) annoncé ; calcul utilisant l’hypothèse ; conclusion complète.
Piège à éviter. Vérifier quelques valeurs ne constitue jamais une démonstration pour tous les entiers.
Quatre autres récurrences pour s’entraîner

Commencez sans aide. Ouvrez ensuite seulement le coup de pouce dont vous avez besoin.

Inégalité · ★

Les puissances de 2

Démontrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(2^n\geq n+1\).

Coup de pouce 1 · Propriété

Posez \(P(n)\) : « \(2^n\geq n+1\) » et commencez au rang 0.

Coup de pouce 2 · Hérédité

À partir de \(2^k\geq k+1\), multipliez par 2 puis comparez \(2k+2\) à \(k+2\).

Correction rédigée

Initialisation. \(2^0=1=0+1\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(k\in\mathbb N\). Supposons \(2^k\geq k+1\). Alors \(2^{k+1}=2\times2^k\geq2k+2\). Or \(2k+2\geq k+2\) car \(k\geq0\). Donc \(2^{k+1}\geq k+2\) et \(P(k+1)\) est vraie.

Conclusion. D’après le principe de récurrence, \(2^n\geq n+1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Somme · ★★

La somme des nombres impairs

Démontrer que, pour tout entier \(n\geq1\), \(1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\).

Coup de pouce 1 · Propriété

Posez \(P(n)\) : « \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(2j-1)=n^2\) ».

Coup de pouce 2 · Rang suivant

Ajoutez à la somme le nouveau terme \(2(k+1)-1\).

Correction rédigée

Initialisation. Pour \(n=1\), les deux membres valent 1. Donc \(P(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(k\geq1\). Supposons \(\sum_{j=1}^{k}(2j-1)=k^2\). Alors \[\sum_{j=1}^{k+1}(2j-1)=k^2+2(k+1)-1=k^2+2k+1=(k+1)^2.\] Donc \(P(k+1)\) est vraie.

Conclusion. D’après le principe de récurrence, l’égalité est vraie pour tout \(n\geq1\).

Suite récurrente · ★★

Montrer une minoration

Soit \(v_0=4\) et \(v_{n+1}=\dfrac{v_n+2}{2}\). Démontrer que \(v_n\geq2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Coup de pouce 1 · Propriété

Posez \(P(n)\) : « \(v_n\geq2\) ».

Coup de pouce 2 · Utiliser l’hypothèse

Si \(v_k\geq2\), ajoutez 2 puis divisez l’inégalité par 2.

Correction rédigée

Initialisation. \(v_0=4\geq2\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(k\in\mathbb N\). Supposons \(v_k\geq2\). Alors \[v_{k+1}=\frac{v_k+2}{2}\geq\frac{2+2}{2}=2.\] Donc \(P(k+1)\) est vraie.

Conclusion. D’après le principe de récurrence, \(v_n\geq2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Divisibilité · ★★★

Un multiple de 6

Démontrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(7^n-1\) est divisible par 6.

Coup de pouce 1 · Écriture utile

Traduisez la divisibilité par : il existe un entier \(q\) tel que \(7^k-1=6q\).

Coup de pouce 2 · Transformation

Écrivez \(7^{k+1}-1=7(7^k-1)+6\).

Correction rédigée

Initialisation. \(7^0-1=0\), qui est divisible par 6. Donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(k\in\mathbb N\). Supposons \(7^k-1\) divisible par 6. Il existe donc \(q\in\mathbb Z\) tel que \(7^k-1=6q\). Alors \[7^{k+1}-1=7(7^k-1)+6=42q+6=6(7q+1).\] Ainsi, \(7^{k+1}-1\) est divisible par 6 et \(P(k+1)\) est vraie.

Conclusion. D’après le principe de récurrence, \(7^n-1\) est divisible par 6 pour tout \(n\in\mathbb N\).