Thème : Fonctions, équations différentielles.

Partie A

f(x) = x − + e^−2x définie sur ℝ.

1. Limite en +∞

lim _x→+∞f(x) = +∞

2. Limite en −∞

f(x) = e^−2x.

lim _x→−∞xe^2x = 0 et lim _x→−∞e^2x = 0 (croissances comparées).

lim _x→−∞e^−2x = +∞.

Par produit et somme, lim _x→−∞f(x) = +∞.

3. Dérivée

f′(x) = 1 + × (−2)e^−2x = 1 − e^−2x.

4. Variations

f′(x) = 0 ⟺ e^−2x = 1 ⟺ − 2x = 0 ⟺ x = 0.

f′(x) > 0 ⟺ 1 − e^−2x > 0 ⟺ e^−2x < 1 ⟺ x > 0.

f(0) = 0 − + = −1.

5. Équation f(x) = 0

Sur ] −∞ ; 0], f(x) ≥−1 et f(0) = −1 < 0, et lim _−∞f = +∞, donc une solution α.

Sur [0 ; +∞[, f continue et strictement croissante, f(0) = −1 < 0, lim _+∞f = +∞, donc une solution β.

f(x) = 0 admet exactement deux solutions sur ℝ.

6. Convexité

f′′(x) = 2e^−2x > 0 pour tout x ∈ ℝ.

f est convexe sur ℝ.

Partie B : Équation différentielle

1. Solution de (E) : y′ + 2y = 2x − 2

Les solutions de y′ + 2y = 0 sont xCe^−2x, C ∈ ℝ.

Une solution particulière de la forme y_p(x) = ax + b :

Les solutions de (E) sont :

2. Condition y(0) = −1

y(0) = C − = −1 ⟺ C = .

y(x) = e^−2x + x − = f(x)