Corrigé – Métropole 2023 J1 (accessible) – Exercice 2

Thème : Fonctions, logarithme népérien.

f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x² − 8 ln x.

2 lixm→0x = 0 et xli→m0 lnx = − ∞

Donc lim _x→0(−8 ln x) = +∞.

lim _x→0f(x) = +∞

( ) f(x ) = x2 1 − 8lnx- x2

D’après les croissances comparées, lim _x→+∞ ln-x
x2 = 0.

lim _x→+∞x² = +∞, donc par produit :

lim _x→+∞f(x) = +∞

f est dérivable sur ]0 ; +∞[ :

2 2 f′(x) = 2x − 8- = 2x--−-8-= 2(x-−--4) = 2(x-−-2)(x-+-2) x x x x

Pour x > 0, x + 2 > 0 et x > 0, donc f′(x) est du signe de x − 2.

f(2) = 4 − 8ln 2 = 4(1 − ln 4)

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Sur ]0 ; 2], f est continue (car dérivable) et strictement décroissante.

lim _x→0f(x) = +∞, f(2) = 4(1 − ln 4) ≈−1,54, et 0 ∈ [f(2) ; +∞[.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; 2].

Sur [2 ; +∞[, f est continue et strictement croissante, f(2) < 0 et lim _+∞f = +∞, donc une unique solution aussi.

Au total, f(x) = 0 admet exactement deux solutions α et β sur ]0 ; +∞[.

| x |0 α β + ∞ | ------|-------------------- f(x) | + 0 − 0 + | |

g_k a les mêmes variations que f, translatée de k.

On veut g_k(x) ≥ 0 pour tout x > 0, soit f(x) ≥−k pour tout x.

La plus petite valeur de f est f(2) = 4 − 8 ln 2.

Donc −k ≤ 4 − 8 ln 2, soit k ≥ 8 ln 2 − 4.

k_min = 8 ln 2 − 4