Sections de solides

Non. Ces arêtes ne sont pas sur une même face. Même si $I$ et $J$ appartiennent au plan de coupe, $[IJ]$ n’est pas nécessairement sur la surface du cube.

La section est un carré. Elle est l’image de la base par une homothétie de centre le sommet de la pyramide. Le dessin en perspective peut la faire paraître comme un parallélogramme.

Dans $BCGF$, tracer par $J$ la parallèle à $(BC)$ : elle rencontre $[CG]$ en $K$. Dans $CDHG$, tracer par $K$ la parallèle à $(CD)$ : elle rencontre $[DH]$ en $L$. Relier $L$ à $I$. $IJKL$ est un carré ; $K$ et $L$ sont les milieux des arêtes correspondantes.

Dans un cylindre de révolution, une coupe parallèle aux bases donne un disque. Une coupe par un plan contenant l’axe donne un rectangle. Pour une sphère, une coupe sécante est un cercle (un disque pour la boule). La méthode « face par face » concerne les polyèdres.

Chaque paire de points appartient à une face passant par $A$ : tracer $[IJ]$ dans $ABCD$, $[JK]$ dans $ADHE$ et $[KI]$ dans $ABFE$. La section est le triangle $IJK$. Dans un cube, il est équilatéral : les trois côtés sont les diagonales de trois carrés de même côté.

Tracer $[AC]$ sur la base et $[AE]$ sur la face $ABFE$. Les faces $ABCD$ et $EFGH$ étant parallèles, tracer par $E$ la parallèle à $(AC)$ : elle passe par $G$. Fermer $A$-$C$-$G$-$E$. La section est un rectangle, de côtés a et \(a\sqrt{2}\) pour un cube de côté a.

Tracer $[IJ]$ et $JK$. Prolonger la droite $(JK)$ jusqu’à rencontrer la droite $(HG)$ en $T$, au-delà de $H$. Par $T$, tracer la parallèle à $(IJ)$ dans le plan $EFGH$ : elle coupe $HE$ en $L$ et $EF$ en $M$. Dans $ABFE$, tracer par $M$ la parallèle à $(JK)$ : elle coupe $FB$ en $N$. Fermer avec $NI$ dans $BCGF$. Par le théorème des milieux et les parallélismes, $L$, $M$ et $N$ sont aussi des milieux. La section $IJKLMN$ est un hexagone régulier, de côté a/\(\sqrt{2}\) pour un cube de côté a. $T$ est un point auxiliaire extérieur au solide.

Tracer $[IJ]$ dans $ABC$, $JK$ dans $ACD$ et $[KI]$ dans $ABD$. Le triangle $IJK$ est parallèle à la face $BCD$. Ses longueurs sont la moitié des longueurs correspondantes de $BCD$.

Les intersections avec les trois faces latérales sont parallèles aux côtés correspondants de la base. La section est un triangle superposable à la base. Une section parallèle à la base ne rétrécit pas dans un prisme.

À l’intérieur, la section est un carré. À la hauteur d’une face, elle est cette face entière. Au-delà du cube, l’intersection est vide. $D$’autres plans peuvent aussi ne toucher qu’un sommet ou une arête : ce sont des cas dégénérés.

$IJKL$ est un carré de côté 6 cm, d’aire 36 \(\mathrm{cm}^{2}\). Les quatre sommets sont les milieux des arêtes verticales.

La section est le triangle équilatéral $IJK$. Chaque côté vaut \(2\sqrt{2}\) cm ; le périmètre vaut \(6\sqrt{2}\) cm.

La section est un carré de côté 6 cm. Son aire vaut 36 \(\mathrm{cm}^{2}\). Le rapport des aires est (3/4)²=9/16.

La section $ACGE$ est un rectangle. $AC$=\(5\sqrt{2}\) cm et $AE$=5 cm ; son aire vaut \(25\sqrt{2}\) \(\mathrm{cm}^{2}\).

La section est le parallélogramme $I$-$J$-$L$-$K$. $IJ$ et $KL$ sont parallèles à $(BC)$ ; $IK$ et $JL$ sont parallèles à $(AD)$. Attention à respecter cet ordre des sommets.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{AI}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AJ}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{BK}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} ; \overrightarrow{CL}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.

La section est $IJKLMN$. Les six sommets sont les milieux de $BC$, $CD$, $DH$, $HE$, $EF$ et $FB$. Chaque côté est la diagonale d’un carré de côté 3 cm, donc mesure \(3\sqrt{2}\) cm. Le périmètre est \(18\sqrt{2}\) cm. Le point $T$ aide à construire mais ne fait pas partie de la section.

Tracer successivement les parallèles à $(AB)$, $BC$ et $[CD]$ dans les faces latérales. Le quatrième sommet est sur $DH$. La section est un carré de côté 7 cm et de périmètre 28 cm ; sa taille ne dépend pas de la hauteur.

La section est le triangle équilatéral $IJK$, de côté \(3\sqrt{2}\) cm. Son aire est (\(\cfrac{\sqrt{3}}{4}\))×(\(3\sqrt{2}\))²=\(\cfrac{9\sqrt{3}}{2}\) \(\mathrm{cm}^{2}\).

Dans les faces latérales, tracer successivement des parallèles aux côtés de la base. On obtient un carré de côté 4 cm, de périmètre 16 cm et d’aire 16 \(\mathrm{cm}^{2}\).

La section est le triangle $IJK$, parallèle à $BCD$ par Thalès dans les faces issues de $A$. Le rapport des longueurs vaut 2/3, celui des aires 4/9. $L$’aire vaut 12 \(\mathrm{cm}^{2}\).

Par $I$, tracer dans $ABCD$ la parallèle à $(BD)$ : elle coupe $AD$ en $J$. Dans $ABFE$, tracer par $I$ la parallèle à $(BE)$ : elle coupe $AE$ en $K$. Relier $J$ et $K$ dans $ADHE$. La section $IJK$ est un triangle équilatéral de côté \(4\sqrt{2}\) cm ; son périmètre est \(12\sqrt{2}\) cm.

Notons \(\mathcal P=(IJL)\) le plan de coupe. $I$, $J$ et $L$ sont donnés ; il reste à construire $M$ et $K$.

1. Tracer $[IJ]$. Les points $I$ et $J$ appartiennent à la face $ABCD$ et au plan \(\mathcal P\). Le segment $[IJ]$ est donc un côté de la section.
2. Construire un point auxiliaire $T$. Prolonger $[AB]$ au-delà de $B$ et $[IJ]$ au-delà de $I$. Les droites $(AB)$ et $(IJ)$ se rencontrent en $T$. Comme $T$ appartient à $(IJ)$, il appartient à \(\mathcal P\). Comme $T$ appartient à $(AB)$, il appartient aussi au plan $ABFE$. Dans le triangle $CBD$, le théorème des milieux donne \((IJ)\parallel(BD)\) ; on en déduit \(BT=\cfrac12 AB\).
3. Construire $M$ sur $[BF]$. $L$ et $T$ appartiennent à la fois à \(\mathcal P\) et au plan $ABFE$. Leur droite $(LT)$ est donc la trace du plan de coupe dans $ABFE$. Tracer $[LT]$ : il rencontre $[BF]$ en $M$. Le côté de la section situé dans cette face est $[LM]$, et non $[LT]$, car $T$ est extérieur au cube.
4. Construire $K$ sur $[DH]$. Les faces $ABFE$ et $CDHG$ sont parallèles. Leurs intersections avec \(\mathcal P\) sont donc deux droites parallèles. La première est $(LM)$ ; la seconde passe par $J$. Dans $CDHG$, tracer par $J$ la parallèle à $(LM)$ : elle rencontre $[DH]$ en $K$. On obtient \((JK)\parallel(LM)\).
5. Fermer le contour. Relier $K$ à $L$ dans la face $ADHE$, puis $M$ à $I$ dans $BCGF$. La section est le pentagone $I$-$J$-$K$-$L$-$M$ : ses côtés sont $[IJ]$, $[JK]$, $[KL]$, $[LM]$ et $[MI]$.

Vérification des positions. Dans le triangle $TAL$, $B$ appartient à $[TA]$, $M$ appartient à $[TL]$ et \((BM)\parallel(AL)\). Thalès donne \(\cfrac{BM}{AL}=\cfrac{TB}{TA}=\cfrac13\), donc \(BM=\cfrac14 AE\). La parallèle à $(LM)$ passant par $J$ donne également \(DK=BM=\cfrac14 AE\). $T$ est uniquement un point auxiliaire : il n’appartient pas au contour de la section.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{BI}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{CJ}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{CD} ; \overrightarrow{AL}=\cfrac{3}{4}\overrightarrow{AE} ; \overrightarrow{BM}=\cfrac{1}{4}\overrightarrow{BF} ; \overrightarrow{DK}=\cfrac{1}{4}\overrightarrow{DH}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.

Tracer $[IJ]$ dans $ABFE$ et $[JK]$ dans $BCGF$. Les faces $ABFE$ et $CDHG$ sont parallèles : dans $CDHG$, tracer par $K$ la parallèle à $(IJ)$. Elle coupe $DH$ en $L$. Fermer avec $LI$ dans $ADHE$. La section $IJKL$ est un parallélogramme oblique, avec $L$ milieu de $DH$. Elle n’est parallèle à aucune face. Elle n’est pas un rectangle : les directions des côtés $IJ$ et $JK$ ne sont pas perpendiculaires. On peut le vérifier en comparant les diagonales $IK$ et $JL$ par Pythagore.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{AI}=\cfrac{1}{4}\overrightarrow{AE} ; \overrightarrow{BJ}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BF} ; \overrightarrow{CK}=\cfrac{3}{4}\overrightarrow{CG} ; \overrightarrow{DL}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{DH}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.

On part uniquement de $I$, $J$ et $K$, puis on construit $N$, $M$ et $L$ dans cet ordre.

1. Tracer $[IJ]$ et $JK$. Ils sont respectivement dans $ABCD$ et $BCGF$.
2. Construire le point auxiliaire $T$. Prolonger $[JK]$ au-delà de $J$ et $[BF]$ au-delà de $B$. Les droites se rencontrent en $T$, sous $B$. $T$ appartient au plan de coupe et au plan $ABFE$.
3. Construire $N$ en premier. $I$ et $T$ sont deux points du plan de coupe dans $ABFE$. Tracer la droite $(IT)$ : elle coupe $[AE]$ en $N$. Le segment $IN$ est un côté de la section ; $T$ reste extérieur au cube.
4. Construire $M$ après $N$. Le plan de coupe rencontre la face $BCGF$ suivant la droite $(JK)$. Comme les faces $BCGF$ et $ADHE$ sont parallèles, sa trace dans $ADHE$ est parallèle à $(JK)$. Cette trace passe par $N$, déjà construit : dans $ADHE$, tracer par $N$ la parallèle à $(JK)$. Elle rencontre $[EH]$ en $M$. Le tracé de $NM$ est donc justifié par $(NM)$ ∥ $(JK)$, et non par la seule apparence du dessin.
5. Construire $L$. Les faces $ABCD$ et $EFGH$ sont parallèles. Dans $EFGH$, tracer par $M$ la parallèle à $(IJ)$ : elle rencontre $[HG]$ en $L$.
6. Fermer la section. Relier $L$ à $K$ dans $CDHG$. Le contour est $I$-$J$-$K$-$L$-$M$-$N$-$I$. On vérifie que $N$, $M$ et $L$ sont les milieux de $AE$, $EH$ et $HG$.

Dans cette construction, $T$ est sur la droite $(BF)$ prolongée au-delà de $B$. $C$’est un autre point auxiliaire que celui de la méthode passant par $(FG)$.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{AI}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{BJ}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{CK}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{CG} ; \overrightarrow{AN}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AE} ; \overrightarrow{EM}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{EH} ; \overrightarrow{HL}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{HG}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.

Commencer par tracer $(IK)$ dans la face $ABD$ : les deux points $I$ et $K$ sont donnés et appartiennent au plan de coupe. Tracer ensuite $IJ$ dans $ABC$. Comme \(\cfrac{AI}{AB}=\cfrac{AJ}{AC}=\cfrac{1}{3}\), la réciproque du théorème de Thalès donne $(IJ)$ parallèle à $(BC)$. Les plans $ABC$ et $BCD$ se coupent suivant $(BC)$ ; le plan de coupe, qui contient $(IJ)$ parallèle à $(BC)$, coupe donc $BCD$ suivant une droite parallèle à $(BC)$. Tracer cette parallèle par $K$ : elle rencontre $[CD]$ en $L$. Comme $K$ est le milieu de $[BD]$, le théorème des milieux dans $BCD$ montre que $L$ est le milieu de $[CD]$. Relier $L$ à $J$ dans $ACD$. La section est le trapèze $I$-$J$-$L$-$K$ : $IJ$ = \(\cfrac{BC}{3}\) et $KL$ = \(\cfrac{BC}{2}\). Les bases sont de longueurs différentes : ce n’est pas un parallélogramme.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{AI}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AJ}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{BK}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} ; \overrightarrow{CL}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.

Tracer $[IJ]$ et $[JK]$. Dans $CDHG$, tracer par $K$ la parallèle à $(IJ)$ : elle rencontre $[DH]$ en $L$. Relier $L$ à $I$. Les faces opposées étant parallèles, la section est le parallélogramme $IJKL$. On vérifie $\overrightarrow{DL}=\cfrac15\overrightarrow{DH}$.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{AI}=\cfrac{3}{10}\overrightarrow{AE} ; \overrightarrow{BJ}=\cfrac{7}{10}\overrightarrow{BF} ; \overrightarrow{CK}=\cfrac{3}{5}\overrightarrow{CG} ; \overrightarrow{DL}=\cfrac{1}{5}\overrightarrow{DH}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.

Tracer $[IJ]$ dans $ABC$ et $[IK]$ dans $ABD$. Les proportions sur $[AB]$ et $[AC]$ sont différentes : $(IJ)$ n’est pas parallèle à $(BC)$. Prolonger $(IJ)$ et $(BC)$ au-delà de $C$ jusqu’à leur intersection $T$. Le point $T$ est dans le plan de coupe et dans $BCD$. Tracer $(KT)$ : elle rencontre $[CD]$ en $L$. Relier $L$ à $J$. La section est le quadrilatère $I-J-L-K$ ; $\overrightarrow{CL}=\cfrac15\overrightarrow{CD}$.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{AI}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AJ}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{BK}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} ; \overrightarrow{CL}=\cfrac{1}{5}\overrightarrow{CD}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.

Tracer $[IJ]$ et $[IK]$. Construire $T=(IJ)\cap(BC)$ en prolongeant les droites au-delà de $C$. Ces droites sont sécantes car les proportions sur $[AB]$ et $[AC]$ sont différentes. Puisque $T$ et $K$ appartiennent au plan de coupe et au plan $BCD$, tracer $(KT)$. Son intersection avec $[CD]$ donne $L$. Relier $L$ à $J$ pour fermer $I-J-L-K$. On vérifie $\overrightarrow{CL}=\cfrac4{13}\overrightarrow{CD}$.

Placement vectoriel des points (donnés et construits) :

\[\overrightarrow{AI}=\cfrac{2}{5}\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AJ}=\cfrac{3}{4}\overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{BK}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{BD} ; \overrightarrow{CL}=\cfrac{4}{13}\overrightarrow{CD}\]

Chaque égalité indique l’origine, la direction et la proportion sur l’arête. Pour les nouveaux points, ces égalités permettent de vérifier la position obtenue après la construction ; elles ne remplacent pas sa justification géométrique.